Use as técnicas de integração para encontrar as integrais:
Passo 1
Resumindo a questão: queremos calcular
. O conteúdo principal é a técnica de substituição trigonométrica para radicais do tipo
. Vamos usar a substituição
.
Passo 2
Com a escolha
, ocorre:
e
. Isso transforma o radical em função trigonométrica simples.
Substituindo na integral original:
Substituindo na integral original:
Passo 3
Agora simplificamos: usando
e
, temos
Então a integral fica
.
Passo 4
Para integrar
, usamos a identidade de ângulo duplo:
$$\n\sin^{2}\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
=\int\frac{1-\cos(2\theta)}{2},d\theta
=\frac{\theta}{2}-\frac{\sin(2\theta)}{4}+C.
=\frac{\theta}{2}-\frac{\sin(2\theta)}{4}+C.
$$
Passo 5
Agora voltamos para
. Como
, temos
. E
Substituindo em
resulta
Fazendo as contas finais:
Fazendo as contas finais:
Passo 6
Pronto! Essa é a antiderivada buscada.