Use as técnicas de integração para encontrar as integrais:
integral raizx^2-1x^3 d x

Passo 1

Resumindo a questão: queremos calcular integral raizx^2-1x^3,dx. O conteúdo principal é a técnica de substituição trigonométrica para radicais do tipo raizx^2-a^2. Vamos usar a substituição x=sectheta.

Passo 2

Com a escolha x=sectheta, ocorre: raizx^2-1=tantheta e dx=sectheta,tantheta,dtheta. Isso transforma o radical em função trigonométrica simples.
Substituindo na integral original:

Passo 3

Agora simplificamos: usando tan^2theta=sec^2theta-1 e 1/sec^2theta=cos^2theta, temos
Então a integral fica ntan^2thetasec^2theta = (sec^2theta-1)cos^2theta =1-cos^2theta =sin^2theta .

Passo 4

Para integrar sin^2theta, usamos a identidade de ângulo duplo:
$$\n\sin^{2}\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
nsin^2theta=1-cos(2theta)2 \n\int\sin^{2}\theta,d\theta
=\int\frac{1-\cos(2\theta)}{2},d\theta
=\frac{\theta}{2}-\frac{\sin(2\theta)}{4}+C.
$$

Passo 5

Agora voltamos para x. Como x=sectheta, temos theta=arccos(1/x). E
Substituindo em nsin(2theta)=2sinthetacostheta =2cdotraizx^2-1xcdot1x =2raizx^2-1x^2 resulta
Fazendo as contas finais:

Passo 6

Pronto! Essa é a antiderivada buscada.

Resposta

12arccosl(tfrac1xr)-raizx^2-12x^2+C

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