Use as técnicas de integração para encontrar as integrais:
integral sec ^2 x tg^7 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral sec^2x tan^7x , dx. Aqui, estamos trabalhando com técnicas de integração, especificamente com substituição. Para resolver, vamos precisar entender como manipular funções trigonométricas e aplicar a substituição adequada para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a integral: integral sec^2x tan^7x , dx. Perceba que temos sec^2x multiplicando tan^7x. Sabemos que a derivada de tan x é sec^2x, então isso sugere que podemos usar uma substituição onde u = tan x.

Passo 3

Vamos fazer a substituição u = tan x. Então, derivando ambos os lados em relação a x, temos:
du = sec^2x , dx
Isso significa que sec^2x , dx = du. Agora, substituindo na integral original:
integral sec^2x tan^7x , dx = integral u^7 , du

Passo 4

Agora, a integral ficou mais simples: integral u^7 , du. Para integrar u^7, usamos a regra básica de integração para potências: integral u^n , du = u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração.
Aplicando isso:
integral u^7 , du = u^88 + C

Passo 5

Agora, voltamos à variável original substituindo u = tan x:
u^88 + C = tan^8x8 + C

Resposta

A integral integral sec^2x tan^7x , dx é igual a tan^8x8 + C.

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