Encontre os pontos de inflexão do gráfico das funções a seguir, se existirem, e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo:
Passo 1
O enunciado pede pra gente estudar a concavidade e os pontos de inflexão da função f(x)=2 cos(3x) no intervalo [−π, π]. Vai dar pra usar derivadas de segunda ordem: onde f’’(x)=0 e troca de sinal são pontos de inflexão, e o sinal de f’’ diz se é côncavo pra cima (f’’>0) ou pra baixo (f’’<0).
Passo 2
Calculamos as derivadas: a primeira é
e a segunda é
Segundo a teoria, f’’(x)=0 gera candidatos a ponto de inflexão.
Passo 3
Para achar onde f’’(x)=0 resolvemos:
No domínio [−π,π] isso ocorre para k=−3,−2,−1,0,1,2, dando x=−5π/6,−π/2,−π/6,π/6,π/2,5π/6.
Passo 4
Precisamos confirmar que em cada um desses pontos a concavidade troca de sinal. Como f’’(x)=-18 cos(3x), temos concavidade para cima quando cos(3x)<0 e pra baixo quando cos(3x)>0. De fato, analisando intervalos adjacentes aos pontos acima, o sinal de cos(3x) alterna.
Passo 5
Concluímos então as regiões de concavidade e os pontos de inflexão:
• Pontos de inflexão (f’’ muda de sinal): x=−5π/6, −π/2, −π/6, π/6, π/2, 5π/6.
• Concavo para cima (f’’>0): x∈(−π,−5π/6), (−π/2,−π/6), (π/6,π/2), (5π/6,π).
• Concavo para baixo (f’’<0): x∈(−5π/6,−π/2), (−π/6,π/6), (π/2,5π/6).
• Pontos de inflexão (f’’ muda de sinal): x=−5π/6, −π/2, −π/6, π/6, π/2, 5π/6.
• Concavo para cima (f’’>0): x∈(−π,−5π/6), (−π/2,−π/6), (π/6,π/2), (5π/6,π).
• Concavo para baixo (f’’<0): x∈(−5π/6,−π/2), (−π/6,π/6), (π/2,5π/6).
Resposta
Pontos de inflexão: x=−5π/6, −π/2, −π/6, π/6, π/2, 5π/6. Concavo para cima em (−π,−5π/6), (−π/2,−π/6), (π/6,π/2), (5π/6,π). Concavo para baixo em (−5π/6,−π/2), (−π/6,π/6), (π/2,5π/6).