Encontre os pontos de inflexão do gráfico das funções a seguir, se existirem, e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo:
f(x)=2 cos (3 x),[-pi, pi]

Passo 1

O enunciado pede pra gente estudar a concavidade e os pontos de inflexão da função f(x)=2 cos(3x) no intervalo [−π, π]. Vai dar pra usar derivadas de segunda ordem: onde f’’(x)=0 e troca de sinal são pontos de inflexão, e o sinal de f’’ diz se é côncavo pra cima (f’’>0) ou pra baixo (f’’<0).

Passo 2

Calculamos as derivadas: a primeira é
f'(x)=-6,sin(3x)
e a segunda é
f''(x)=-18,cos(3x)
Segundo a teoria, f’’(x)=0 gera candidatos a ponto de inflexão.

Passo 3

Para achar onde f’’(x)=0 resolvemos:
cos(3x)=0Longrightarrow3x=pi2+kpiLongrightarrow x=pi6+kpi3
No domínio [−π,π] isso ocorre para k=−3,−2,−1,0,1,2, dando x=−5π/6,−π/2,−π/6,π/6,π/2,5π/6.

Passo 4

Precisamos confirmar que em cada um desses pontos a concavidade troca de sinal. Como f’’(x)=-18 cos(3x), temos concavidade para cima quando cos(3x)<0 e pra baixo quando cos(3x)>0. De fato, analisando intervalos adjacentes aos pontos acima, o sinal de cos(3x) alterna.

Passo 5

Concluímos então as regiões de concavidade e os pontos de inflexão:
• Pontos de inflexão (f’’ muda de sinal): x=−5π/6, −π/2, −π/6, π/6, π/2, 5π/6.
• Concavo para cima (f’’>0): x∈(−π,−5π/6), (−π/2,−π/6), (π/6,π/2), (5π/6,π).
• Concavo para baixo (f’’<0): x∈(−5π/6,−π/2), (−π/6,π/6), (π/2,5π/6).

Resposta

Pontos de inflexão: x=−5π/6, −π/2, −π/6, π/6, π/2, 5π/6. Concavo para cima em (−π,−5π/6), (−π/2,−π/6), (π/6,π/2), (5π/6,π). Concavo para baixo em (−5π/6,−π/2), (−π/6,π/6), (π/2,5π/6).

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