Encontre os pontos de inflexão do gráfico das funções a seguir, se existirem, e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo:
f(x)=x^3-2 x^2-4 x+1

Passo 1

Temos a função f(x)=x^3-2x^2-4x+1. O conteúdo é sobre concavidade e pontos de inflexão, e para isso precisamos usar a definição de concavidade via segunda derivada: a função é côncava para cima quando f''(x)>0, côncava para baixo quando f''(x)<0 e há ponto de inflexão onde f''(x)=0 e há troca de sinal.

Passo 2

Calculamos as derivadas. A primeira derivada é
f'(x)=3x^2-4x-4
Derivando de novo, a segunda derivada é
f''(x)=6x-4

Passo 3

Para encontrar pontos de inflexão, resolvemos f''(x)=0:
6x-4=0implies x=tfrac46=tfrac23
Em seguida, verificamos que f''(x) muda de sinal em x=tfrac23 (de negativo para positivo), confirmando um ponto de inflexão. Calculamos o valor de f nesse ponto:
fl(tfrac23r)=l(tfrac23r)^3-2l(tfrac23r)^2-4l(tfrac23r)+1=8-24-72+2727=-6127
Logo o ponto de inflexão é (tfrac23,-tfrac6127).

Passo 4

Para determinar os intervalos de concavidade, analisamos o sinal de f''(x)=6x-4:
  • Se x>tfrac23, então 6x-4>0 e a função é côncava para cima.
  • Se x, então 6x-4<0 e a função é côncava para baixo.

Resposta

Ponto de inflexão em (tfrac23,-tfrac6127). A função é côncava para baixo em (tfrac23,+infty) e côncava para cima em .

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