Encontre os pontos de inflexão do gráfico das funções a seguir, se existirem, e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo:
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo é sobre concavidade e pontos de inflexão, e para isso precisamos usar a definição de concavidade via segunda derivada: a função é côncava para cima quando
, côncava para baixo quando
e há ponto de inflexão onde
e há troca de sinal.
Passo 2
Calculamos as derivadas. A primeira derivada é
Derivando de novo, a segunda derivada é
Passo 3
Para encontrar pontos de inflexão, resolvemos
:
Em seguida, verificamos que
muda de sinal em
(de negativo para positivo), confirmando um ponto de inflexão. Calculamos o valor de
nesse ponto:
Logo o ponto de inflexão é
.
Passo 4
Para determinar os intervalos de concavidade, analisamos o sinal de
:
- Se
, então e a função é côncava para cima. - Se
, então e a função é côncava para baixo.
Resposta
Ponto de inflexão em
. A função é côncava para baixo em
e côncava para cima em
.