Encontre os pontos de inflexão do gráfico das funções a seguir, se existirem, e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo:
f(x)=(x+2)^12

Passo 1

Nesse exercício, temos a função f(x)=(x+2)^1/2 e queremos encontrar pontos de inflexão e estudar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo. O conteúdo aqui é análise de concavidade via a segunda derivada, e vamos precisar do domínio da função, de f'(x) e de f''(x).

Passo 2

Para calcular a primeira derivada, aplicamos a regra da potência e a regra da cadeia em f(x)=(x+2)^1/2. Como u=x+2 e f=u^1/2, temos: \ f'(x)=tfrac12(x+2)^-1/2

Passo 3

Agora derivamos f'(x)=tfrac12(x+2)^-1/2 novamente para achar a segunda derivada. Aplicando potência de novo: \ f''(x)=tfrac12cdot(-tfrac12)(x+2)^-3/2=-tfrac14(x+2)^-3/2

Passo 4

Para estudar a concavidade, analisamos o sinal de f''(x). No domínio da função, que é x>= -2 (mais precisamente x>-2 para a segunda derivada), temos x+2>0. Então (x+2)^-3/2>0 e com o sinal negativo em frente, f''(x)<0 para todo x>-2. Logo o gráfico é côncavo para baixo em todo o seu domínio interior.

Passo 5

Pontos de inflexão ocorrem onde f''(x) muda de sinal ou deixa de existir de modo a trocar concavidade. Aqui f''(x) é sempre negativa em ( -2,infty) e não muda de sinal, então não há pontos de inflexão nesta função.

Resposta

Não existem pontos de inflexão. O gráfico é côncavo para baixo em ( -2,infty) e não apresenta região côncava para cima.

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