Encontre os pontos de inflexão do gráfico das funções a seguir, se existirem, e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo:
Passo 1
Nesse exercício, temos a função
e queremos encontrar pontos de inflexão e estudar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo. O conteúdo aqui é análise de concavidade via a segunda derivada, e vamos precisar do domínio da função, de
e de
.
Passo 2
Para calcular a primeira derivada, aplicamos a regra da potência e a regra da cadeia em
. Como
e
, temos: \
Passo 3
Agora derivamos
novamente para achar a segunda derivada. Aplicando potência de novo: \
Passo 4
Para estudar a concavidade, analisamos o sinal de
. No domínio da função, que é
(mais precisamente
para a segunda derivada), temos
. Então
e com o sinal negativo em frente,
para todo
. Logo o gráfico é côncavo para baixo em todo o seu domínio interior.
Passo 5
Pontos de inflexão ocorrem onde
muda de sinal ou deixa de existir de modo a trocar concavidade. Aqui
é sempre negativa em
e não muda de sinal, então não há pontos de inflexão nesta função.
Resposta
Não existem pontos de inflexão. O gráfico é côncavo para baixo em
e não apresenta região côncava para cima.