Encontre pontos de máximo e de mínimo absolutos das funções dadas nos domínios indicados.
f(x)=x / 4+1 / x, x \in[1,5]

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{x} definida no intervalo fechado x\in[1,5]. A pergunta é: encontrar os pontos de máximo absoluto e de mínimo absoluto dessa função nesse domínio.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{x}.
  • O domínio considerado é o intervalo fechado [1,5].
  • Preciso indicar onde ocorrem (valores de x) e quais são os valores máximos e mínimos absolutos de f nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, uma noção teórica importante (explicada de forma simples): se uma função é contínua em um intervalo fechado, então ela atinge um máximo e um mínimo absolutos nesse intervalo (Teorema do Valor Extremo). Aqui vamos verificar continuidade: cada termo \dfrac{x}{4} e \dfrac{1}{x} é contínuo sempre que x\neq0. Como nosso intervalo [1,5] não contém 0, a função f é contínua em [1,5]. Logo, sabemos que existem um máximo absoluto e um mínimo absoluto no intervalo. Para encontrá‑los, o método padrão é:
  1. encontrar os pontos críticos no interior do intervalo (onde f'(x)=0 ou f' indefinida),
  2. avaliar f nesses pontos críticos e também nos extremos do intervalo x=1 e x=5,
  3. comparar os valores obtidos — o menor é o mínimo absoluto e o maior é o máximo absoluto.

Passo 3

Vamos calcular a derivada f'(x). Explicando passo a passo:
  • A derivada de \dfrac{x}{4} em relação a x é \dfrac{1}{4} (porque é uma constante vezes x).
  • A derivada de \dfrac{1}{x} pode ser vista como a derivada de x^{-1}, que é -1\cdot x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}.
    Portanto,
f'(x)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{x^{2}}.
Pontos críticos ocorrem onde f'(x)=0 ou onde f' não existe. Aqui f'(x) existe para todo x\neq0, e no intervalo [1,5] não há problema, então resolvemos
\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{x^{2}}=0.
Isso dá
\dfrac{1}{x^{2}}=\dfrac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad x^{2}=4\quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.
Dois candidatos, mas no nosso domínio só x=2 pertence a [1,5]. Portanto o único ponto crítico no interior é x=2.

Passo 4

Agora avaliamos f nos pontos candidatos: x=1, x=2 (ponto crítico) e x=5.
Calcule f(1):
f(1)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{1}=\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{5}{4}.
Calcule f(2):
f(2)=\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1.
Calcule f(5):
f(5)=\dfrac{5}{4}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{5}{4}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{25}{20}+\dfrac{4}{20}=\dfrac{29}{20}.
Observe que \dfrac{29}{20}=1{,}45, \dfrac{5}{4}=1{,}25 e 1=\;1{,}00.

Passo 5

Compare os valores obtidos:
  • f(2)=1{,}00 (menor entre os três),
  • f(1)=\dfrac{5}{4}=1{,}25,
  • f(5)=\dfrac{29}{20}=1{,}45 (maior entre os três).
Portanto, o menor valor (mínimo absoluto) é em x=2 e o maior valor (máximo absoluto) é em x=5.
Como verificação extra (didática): podemos também olhar a segunda derivada para classificar o ponto crítico. Derivando f'(x)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{x^{2}} obtemos
f''(x)=\dfrac{2}{x^{3}}.
Em x=2 temos f''(2)=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}>0, o que confirma que x=2 é um ponto de mínimo local; combinado com a comparação dos valores, é de fato o mínimo absoluto no intervalo.

Resposta

Mínimo absoluto em x=2: f(2)=1.
Máximo absoluto em x=5: f(5)=\dfrac{29}{20}.

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