Encontre pontos de máximo e de mínimo absolutos das funções dadas nos domínios indicados.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo fechado
. A pergunta é: encontrar os pontos de máximo absoluto e de mínimo absoluto dessa função nesse domínio.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O domínio considerado é o intervalo fechado
. - Preciso indicar onde ocorrem (valores de
) e quais são os valores máximos e mínimos absolutos de nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, uma noção teórica importante (explicada de forma simples): se uma função é contínua em um intervalo fechado, então ela atinge um máximo e um mínimo absolutos nesse intervalo (Teorema do Valor Extremo). Aqui vamos verificar continuidade: cada termo
e
é contínuo sempre que
. Como nosso intervalo
não contém
, a função
é contínua em
. Logo, sabemos que existem um máximo absoluto e um mínimo absoluto no intervalo. Para encontrá‑los, o método padrão é:
- encontrar os pontos críticos no interior do intervalo (onde
ou indefinida), - avaliar
nesses pontos críticos e também nos extremos do intervalo e , - comparar os valores obtidos — o menor é o mínimo absoluto e o maior é o máximo absoluto.
Passo 3
Vamos calcular a derivada
. Explicando passo a passo:
- A derivada de
em relação a é (porque é uma constante vezes ). - A derivada de
pode ser vista como a derivada de , que é .
Portanto,
Pontos críticos ocorrem onde
ou onde
não existe. Aqui
existe para todo
, e no intervalo
não há problema, então resolvemos
Isso dá
Dois candidatos, mas no nosso domínio só
pertence a
. Portanto o único ponto crítico no interior é
.
Passo 4
Agora avaliamos
nos pontos candidatos:
,
(ponto crítico) e
.
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Observe que
,
e
.
Passo 5
Compare os valores obtidos:
-
(menor entre os três), -
, -
(maior entre os três).
Portanto, o menor valor (mínimo absoluto) é em
e o maior valor (máximo absoluto) é em
.
Como verificação extra (didática): podemos também olhar a segunda derivada para classificar o ponto crítico. Derivando
obtemos
Em
temos
, o que confirma que
é um ponto de mínimo local; combinado com a comparação dos valores, é de fato o mínimo absoluto no intervalo.
Resposta
Mínimo absoluto em
:
.
Máximo absoluto em :
.
Máximo absoluto em