Assim como os engenheiros e físicos usam os nomes de velocidade e aceleração para se referir a derivadas de funções que descrevem o movimento, os economistas chamam as derivadas das funções que eles usam de marginais. Por exemplo, em uma operação de manufatura, o custo de produção c(x) é uma função de x, que representa o número de de unidades produzidas, o custo marginal da produção é a taxa de variação do custo em relação ao nível de produção, isto é, d c / d x e expressa a variação no custo devido à produção de um item extra de um produto.
Suponha que o custo seja
c(x)=x^{3}-6 x^{2}+15 x
dólares para produzir x aquecedores quando são produzidos de 8 a 30 e que
r(x)=x^{3}-3 x^{2}+12 x

Passo 1

O enunciado forneceu as duas funções de custo e de receita, mas parou no meio da frase e não trouxe uma pergunta explícita. As informações que estão claras no enunciado são:
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  • A função custo é c(x)=x^{3}-6x^{2}+15x, em dólares, para produzir x aquecedores.\n
  • A função receita é r(x)=x^{3}-3x^{2}+12x (a definição da receita foi dada, mas o enunciado não diz que cálculo pedir).\n
  • Foi informado que a produção considerada varia de 8 a 30 unidades (ou seja, o domínio relevante é 8\le x\le 30).\n
    \n
    Como o enunciado não especificou qual cálculo pedir, vou resolver os itens que costumam ser pedidos nesse tipo de exercício e que são úteis para a prova: calcular o custo marginal e a receita marginal (as derivadas), interpretar o significado, avaliar essas marginais nas extremidades do intervalo x=8 e x=30, e analisar o lucro (função lucro e seu comportamento) — isto é, tudo que um professor normalmente espera aqui. Se precisares só de algum desses itens, ignora os outros. Vamos em frente.

Passo 2

O que é “marginal” e como derivar funções term a termo (a regra básica que vamos usar).\n
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  • Significado prático: o custo marginal é a razão de variação do custo em relação à quantidade produzida, ou seja, aproximadamente quanto aumenta o custo se eu produzir uma unidade a mais. A unidade é dólares por unidade produzida.\n
    \n
  • Como calcular derivadas de polinômios (regra do poder): se temos uma função f(x)=a x^{n} com a constante e n inteiro, então a derivada é
f'(x)=a\cdot n\cdot x^{n-1}.
Isso vale termo a termo: a derivada da soma é a soma das derivadas, e a derivada de k (constante) é zero. Exemplo rápido: a derivada de x^{3} é 3x^{2}; a derivada de -6x^{2} é -12x; a derivada de 15x é 15. Vamos aplicar isso direto às funções dadas.

Passo 3

Calcular o custo marginal c'(x) aplicando a regra potência termo a termo à função custo c(x)=x^{3}-6x^{2}+15x.\n
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Derivando cada termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2},
\frac{d}{dx}\bigl(-6x^{2}\bigr)=-12x,
\frac{d}{dx}\bigl(15x\bigr)=15.
Somando:
c'(x)=3x^{2}-12x+15.

Passo 4

Calcular a receita marginal r'(x) da função r(x)=x^{3}-3x^{2}+12x do mesmo jeito.\n
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Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2},
\frac{d}{dx}\bigl(-3x^{2}\bigr)=-6x,
\frac{d}{dx}\bigl(12x\bigr)=12.
Somando:
r'(x)=3x^{2}-6x+12.

Passo 5

Interpretação das marginais e cálculo numérico em x=8 e x=30.\n
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  • Lembra: c'(x) e r'(x) têm unidade de dólares por unidade produzida; elas aproximam a variação do custo/receita ao produzir mais uma unidade.\n
    \n
    Vamos avaliar numericamente:\n
    Calcular c'(8):
c'(8)=3\cdot 8^{2}-12\cdot 8+15=3\cdot 64-96+15=192-96+15=111.
Logo c'(8)=111 dólares por aquecedor (aproximação do aumento de custo ao passar de 8 para 9 unidades).\n
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Calcular c'(30):
c'(30)=3\cdot 30^{2}-12\cdot 30+15=3\cdot 900-360+15=2700-360+15=2355.
Logo c'(30)=2355 dólares por aquecedor.\n
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Agora r'(8):
r'(8)=3\cdot 8^{2}-6\cdot 8+12=192-48+12=156.
Então r'(8)=156 dólares por aquecedor.\n
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E r'(30):
r'(30)=3\cdot 30^{2}-6\cdot 30+12=2700-180+12=2532.
Então r'(30)=2532 dólares por aquecedor.

Passo 6

Comparação r'(x) vs c'(x) e significado econômico (decisão sobre aumentar produção).\n
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  • Regra prática: se r'(x)>c'(x) em um ponto x, produzir uma unidade a mais aumenta o lucro (porque a receita marginal excede o custo marginal). Se r'(x)<c'(x), produzir mais reduz o lucro.\n
    \n
    Calcule a diferença r'(x)-c'(x): usando as fórmulas encontradas,
r'(x)-c'(x)=(3x^{2}-6x+12)-(3x^{2}-12x+15)=6x-3.
Logo r'(x)-c'(x)=6x-3.\n
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  • Observe que 6x-3>0 sempre que x>\tfrac{1}{2}. No intervalo relevante 8\le x\le 30 temos x>\tfrac{1}{2}, logo r'(x)>c'(x) em todo o intervalo. Conclusão econômica: em toda a faixa 8 a 30 é vantajoso aumentar a produção — o lucro cresce ao produzir mais (pelo menos enquanto estivermos nesse intervalo).\n
    \n
    Avaliação nos pontos que calculamos: em x=8, r'(8)-c'(8)=156-111=45>0; em x=30, r'(30)-c'(30)=2532-2355=177>0. Ambos positivos, confirmando a interpretação.

Passo 7

Função lucro, sua derivada e análise global (encontrar máximo interno, se houver).\n
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  • Definição: lucro p(x)=r(x)-c(x).\n
    \n
    Calcule p(x):
p(x)=\bigl(x^{3}-3x^{2}+12x\bigr)-\bigl(x^{3}-6x^{2}+15x\bigr)=3x^{2}-3x.
Podemos simplificar: p(x)=3x^{2}-3x=3x(x-1).\n
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A derivada do lucro é
p'(x)=\frac{d}{dx}p(x)=6x-3,
que é exatamente r'(x)-c'(x) (como deve ser, porque a derivada de diferença é diferença das derivadas).\n
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Resolver p'(x)=0 para procurar extremos internos:
6x-3=0 \implies x=\frac{1}{2}.
Esse ponto crítico é x=\tfrac{1}{2}, que está fora do nosso intervalo relevante 8\le x\le 30. Para x>\tfrac{1}{2} temos p'(x)>0, ou seja, o lucro é crescente para todo x\ge 8.\n
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Portanto, no intervalo considerado o lucro aumenta conforme x aumenta, logo o lucro máximo no intervalo fechado [8,30] ocorre em x=30 (um máximo de fronteira). Vamos calcular o lucro nesses pontos para ver números:\n
p(8)=3\cdot 8^{2}-3\cdot 8=192-24=168\\ \text{dólares},ó
p(30)=3\cdot 30^{2}-3\cdot 30=2700-90=2610\\ \text{dólares}.ó
Ou seja, produzir 30 unidades dá lucro 2610 dólares, enquanto produzir 8 dá lucro 168 dólares; portanto, dentro do intervalo a melhor opção é produzir o máximo permitido, 30.

Passo 8

Resumo final e orientação para a prova (como fazer rápido e o que anotar).\n
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  • Para calcular marginais em prova: derive o polinômio termo a termo com a regra d(x^{n})/dx = n x^{n-1}.\n
  • Escreva sempre a interpretação: unidade (dólares por unidade) e comparação r'(x) vs c'(x) para decidir se convém aumentar a produção.\n
  • Se pedirem lucro máximo em um intervalo: derive p(x)=r(x)-c(x), encontre pontos críticos de p' e compare com as fronteiras do intervalo.\n
    \n
    Força aí — se estiver nervoso, tenta resolver um exercício parecido praticando só derivadas de polinômios e comparações r'(x) vs c'(x). Dá para fazer na prova sem calculadora seguindo estes passos.

Resposta

c'(x)=3x^{2}-12x+15\n
r'(x)=3x^{2}-6x+12\n
c'(8)=111\n
c'(30)=2355\n
r'(8)=156\n
r'(30)=2532\n
p(x)=r(x)-c(x)=3x^{2}-3x\n
p'(x)=6x-3, ponto crítico x=\tfrac{1}{2} (fora do intervalo 8\le x\le 30), portanto o lucro é crescente em [8,30] e atinge o máximo em x=30 com p(30)=2610 dólares.

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