Assim como os engenheiros e físicos usam os nomes de velocidade e aceleração para se referir a derivadas de funções que descrevem o movimento, os economistas chamam as derivadas das funções que eles usam de marginais. Por exemplo, em uma operação de manufatura, o custo de produção
é uma função de
, que representa o número de de unidades produzidas, o custo marginal da produção é a taxa de variação do custo em relação ao nível de produção, isto é,
e expressa a variação no custo devido à produção de um item extra de um produto.
Suponha que o custo seja
dólares para produzir
aquecedores quando são produzidos de 8 a 30 e que
Passo 1
O enunciado forneceu as duas funções de custo e de receita, mas parou no meio da frase e não trouxe uma pergunta explícita. As informações que estão claras no enunciado são:
\n
\n
- A função custo é
, em dólares, para produzir aquecedores.\n - A função receita é
(a definição da receita foi dada, mas o enunciado não diz que cálculo pedir).\n - Foi informado que a produção considerada varia de
a unidades (ou seja, o domínio relevante é ).\n
\n
Como o enunciado não especificou qual cálculo pedir, vou resolver os itens que costumam ser pedidos nesse tipo de exercício e que são úteis para a prova: calcular o custo marginal e a receita marginal (as derivadas), interpretar o significado, avaliar essas marginais nas extremidades do intervaloe , e analisar o lucro (função lucro e seu comportamento) — isto é, tudo que um professor normalmente espera aqui. Se precisares só de algum desses itens, ignora os outros. Vamos em frente.
Passo 2
O que é “marginal” e como derivar funções term a termo (a regra básica que vamos usar).\n
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\n
- Significado prático: o custo marginal é a razão de variação do custo em relação à quantidade produzida, ou seja, aproximadamente quanto aumenta o custo se eu produzir uma unidade a mais. A unidade é dólares por unidade produzida.\n
\n - Como calcular derivadas de polinômios (regra do poder): se temos uma função
com constante e inteiro, então a derivada é
Isso vale termo a termo: a derivada da soma é a soma das derivadas, e a derivada de
(constante) é zero. Exemplo rápido: a derivada de
é
; a derivada de
é
; a derivada de
é
. Vamos aplicar isso direto às funções dadas.
Passo 3
Calcular o custo marginal
aplicando a regra potência termo a termo à função custo
.\n
\n
Derivando cada termo:
\n
Derivando cada termo:
Somando:
Passo 4
Calcular a receita marginal
da função
do mesmo jeito.\n
\n
Derivando termo a termo:
\n
Derivando termo a termo:
Somando:
Passo 5
Interpretação das marginais e cálculo numérico em
e
.\n
\n
\n
- Lembra:
e têm unidade de dólares por unidade produzida; elas aproximam a variação do custo/receita ao produzir mais uma unidade.\n
\n
Vamos avaliar numericamente:\n
Calcular:
Logo
dólares por aquecedor (aproximação do aumento de custo ao passar de 8 para 9 unidades).\n
\n
Calcular :
\n
Calcular
Logo
dólares por aquecedor.\n
\n
Agora :
\n
Agora
Então
dólares por aquecedor.\n
\n
E :
\n
E
Então
dólares por aquecedor.
Passo 6
Comparação
vs
e significado econômico (decisão sobre aumentar produção).\n
\n
\n
- Regra prática: se
em um ponto , produzir uma unidade a mais aumenta o lucro (porque a receita marginal excede o custo marginal). Se , produzir mais reduz o lucro.\n
\n
Calcule a diferença: usando as fórmulas encontradas,
Logo
.\n
\n
\n
- Observe que
sempre que . No intervalo relevante temos , logo em todo o intervalo. Conclusão econômica: em toda a faixa a é vantajoso aumentar a produção — o lucro cresce ao produzir mais (pelo menos enquanto estivermos nesse intervalo).\n
\n
Avaliação nos pontos que calculamos: em, ; em , . Ambos positivos, confirmando a interpretação.
Passo 7
Função lucro, sua derivada e análise global (encontrar máximo interno, se houver).\n
\n
\n
- Definição: lucro
.\n
\n
Calcule:
Podemos simplificar:
.\n
\n
A derivada do lucro é
\n
A derivada do lucro é
que é exatamente
(como deve ser, porque a derivada de diferença é diferença das derivadas).\n
\n
Resolver para procurar extremos internos:
\n
Resolver
Esse ponto crítico é
, que está fora do nosso intervalo relevante
. Para
temos
, ou seja, o lucro é crescente para todo
.\n
\n
Portanto, no intervalo considerado o lucro aumenta conforme aumenta, logo o lucro máximo no intervalo fechado
ocorre em
(um máximo de fronteira). Vamos calcular o lucro nesses pontos para ver números:\n
\n
Portanto, no intervalo considerado o lucro aumenta conforme
Ou seja, produzir
unidades dá lucro
dólares, enquanto produzir
dá lucro
dólares; portanto, dentro do intervalo a melhor opção é produzir o máximo permitido,
.
Passo 8
Resumo final e orientação para a prova (como fazer rápido e o que anotar).\n
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\n
- Para calcular marginais em prova: derive o polinômio termo a termo com a regra
.\n - Escreva sempre a interpretação: unidade (dólares por unidade) e comparação
vs para decidir se convém aumentar a produção.\n - Se pedirem lucro máximo em um intervalo: derive
, encontre pontos críticos de e compare com as fronteiras do intervalo.\n
\n
Força aí — se estiver nervoso, tenta resolver um exercício parecido praticando só derivadas de polinômios e comparaçõesvs . Dá para fazer na prova sem calculadora seguindo estes passos.