Encontre pontos de máximo e de mínimo absolutos das funções dadas nos domínios indicados.
f(x)=x \sqrt{1-x}, x \in[0,1] [-1,1].

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os pontos de máximo e mínimo absolutos da função f(x)=x\sqrt{1-x} nos domínios indicados. As duas instâncias que temos são:
  • domínio [0,1];
  • domínio [-1,1].
Informações dadas:
f(x)=x\sqrt{1-x}.
Os conjuntos onde buscar extremos são [0,1] e [-1,1].

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar onde a função é bem definida. A raiz quadrada exige que o argumento seja não negativo, isto é:
1-x \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \le 1.
Portanto para todo x\le 1 a expressão é real; logo tanto em [0,1] quanto em [-1,1] a função está bem definida.
Estratégia para achar extremos absolutas em um intervalo fechado: como f é contínua nesses intervalos (produto de funções contínuas), os extremos absolutos ocorrem em pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não existe) dentro do intervalo ou nos pontos extremos do intervalo (endpoints). Vamos então:
  1. calcular f'(x);
  2. achar os pontos críticos internos;
  3. avaliar f nos críticos e nos endpoints;
  4. comparar os valores para identificar máximos e mínimos absolutos.

Passo 3

Vamos calcular a derivada f'(x). Vou usar a regra do produto: se f(x)=u(x)v(x) então f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Aqui escolhemos u(x)=x e v(x)=\sqrt{1-x}=(1-x)^{1/2}. Então:
u'(x)=1,\qquad v'(x)=\frac{1}{2}(1-x)^{-1/2}\cdot(-1)=-\frac{1}{2}(1-x)^{-1/2}.
Aplicando a regra do produto:
f'(x)=1\cdot(1-x)^{1/2}+x\cdot\left(-\frac{1}{2}(1-x)^{-1/2}\right).
Agora colocamos em uma única fração para simplificar. Colocando denominador comum 2(1-x)^{1/2}:
f'(x)=\frac{2(1-x)-x}{2(1-x)^{1/2}}=\frac{2-3x}{2\sqrt{1-x}}.

Passo 4

Determinar pontos críticos no interior dos intervalos: resolver f'(x)=0 e checar onde f' não existe (dentro do intervalo).
  1. Zerar f'(x): o denominador não é zero para x<1, então resolvemos o numerador
2-3x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{2}{3}.
Esse ponto está dentro de ambos os intervalos [0,1] e [-1,1].
  1. Onde f'(x) não existe? O denominador 2\sqrt{1-x} é zero em x=1. Mas x=1 é um endpoint dos intervalos (não um interior), então é tratado como ponto de fronteira — devemos avaliá-lo, mas não como crítico interior.
Portanto o único ponto crítico interior relevante é x=\tfrac{2}{3}.

Passo 5

Agora avaliamos f nos candidatos a extremos: pontos críticos internos e endpoints.
Primeiro calculemos f em termos exatos quando necessário.
Avaliações:
f\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\tfrac{2}{3}\sqrt{1-\tfrac{2}{3}}=\tfrac{2}{3}\sqrt{\tfrac{1}{3}}=\tfrac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{9}.
(usar \frac{2\sqrt{3}}{9} ou \frac{2}{3\sqrt{3}} são equivalentes.)
Nos endpoints:
f(0)=0\cdot\sqrt{1}=0,
f(1)=1\cdot\sqrt{0}=0.
Para o intervalo [0,1] ainda não há outros pontos a avaliar — já temos os valores em todos os candidatos: x=0,\;x=\tfrac{2}{3},\;x=1.
Comparando:
f\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\frac{2}{3\sqrt{3}}\approx 0{,}385>0=f(0)=f(1).
Assim em [0,1] o valor máximo absoluto é \frac{2}{3\sqrt{3}} em x=\tfrac{2}{3} e o mínimo absoluto é 0 atingido em x=0 e x=1.

Passo 6

Agora repetimos para o intervalo [-1,1]. Já temos f em x=\tfrac{2}{3} e em x=1. Falta avaliar x=-1:
f(-1) = (-1)\sqrt{1-(-1)} = -1\cdot\sqrt{2} = -\sqrt{2}.
Comparemos os três valores relevantes em [-1,1]:
f(-1)=-\sqrt{2}\approx -1{,}414,\qquad f\!\left(\tfrac{2}{3}\right)\approx 0{,}385,\qquad f(1)=0.
Como -\sqrt{2} é o menor entre esses valores, o mínimo absoluto em [-1,1] ocorre em x=-1 com valor -\sqrt{2}. O máximo absoluto é o maior valor, que é f\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\frac{2}{3\sqrt{3}} em x=\tfrac{2}{3}.

Resposta

No intervalo [0,1]: máximo absoluto em x=\tfrac{2}{3} com valor \dfrac{2}{3\sqrt{3}}.\nMínimos absolutos em x=0 e x=1 com valor 0.\nNo intervalo [-1,1]: máximo absoluto em x=\tfrac{2}{3} com valor \dfrac{2}{3\sqrt{3}}.\nMínimo absoluto em x=-1 com valor -\sqrt{2}.

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