Encontre pontos de máximo e de mínimo absolutos das funções dadas nos domínios indicados.
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os pontos de máximo e mínimo absolutos da função
nos domínios indicados. As duas instâncias que temos são:
- domínio
; - domínio
.
Informações dadas:
Os conjuntos onde buscar extremos são
e
.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar onde a função é bem definida. A raiz quadrada exige que o argumento seja não negativo, isto é:
Portanto para todo
a expressão é real; logo tanto em
quanto em
a função está bem definida.
Estratégia para achar extremos absolutas em um intervalo fechado: como é contínua nesses intervalos (produto de funções contínuas), os extremos absolutos ocorrem em pontos críticos (onde
ou
não existe) dentro do intervalo ou nos pontos extremos do intervalo (endpoints). Vamos então:
Estratégia para achar extremos absolutas em um intervalo fechado: como
- calcular
; - achar os pontos críticos internos;
- avaliar
nos críticos e nos endpoints; - comparar os valores para identificar máximos e mínimos absolutos.
Passo 3
Vamos calcular a derivada
. Vou usar a regra do produto: se
então
. Aqui escolhemos
e
. Então:
Aplicando a regra do produto:
Agora colocamos em uma única fração para simplificar. Colocando denominador comum
:
Passo 4
Determinar pontos críticos no interior dos intervalos: resolver
e checar onde
não existe (dentro do intervalo).
- Zerar
: o denominador não é zero para , então resolvemos o numerador
Esse ponto está dentro de ambos os intervalos
e
.
- Onde
não existe? O denominador é zero em . Mas é um endpoint dos intervalos (não um interior), então é tratado como ponto de fronteira — devemos avaliá-lo, mas não como crítico interior.
Portanto o único ponto crítico interior relevante é
.
Passo 5
Agora avaliamos
nos candidatos a extremos: pontos críticos internos e endpoints.
Primeiro calculemos
em termos exatos quando necessário.
Avaliações:
(usar
ou
são equivalentes.)
Nos endpoints:
Para o intervalo
ainda não há outros pontos a avaliar — já temos os valores em todos os candidatos:
.
Comparando:
Assim em
o valor máximo absoluto é
em
e o mínimo absoluto é
atingido em
e
.
Passo 6
Agora repetimos para o intervalo
. Já temos
em
e em
. Falta avaliar
:
Comparemos os três valores relevantes em
:
Como
é o menor entre esses valores, o mínimo absoluto em
ocorre em
com valor
. O máximo absoluto é o maior valor, que é
em
.
Resposta
No intervalo
: máximo absoluto em
com valor
.\nMínimos absolutos em
e
com valor
.\nNo intervalo
: máximo absoluto em
com valor
.\nMínimo absoluto em
com valor
.