Informações dadas: a expressão da função no numerador \,x^{3/2}-4x^{1/2}-2x+8, e no denominador \,x^{3}+64, e o ponto de limite \,x\rightarrow 4.
Passo 2
Primeiro passo prático: verificar a forma indeterminada ao substituir x=4. Vamos avaliar numerador e denominador em x=4:
\text{numerador em }x=4: \;4^{3/2}-4\cdot 4^{1/2}-2\cdot 4+8,
\text{denominador em }x=4: \;4^{3}+64.
Não estou desenvolvendo ainda a conta detalhada da substituição aqui (só estou listando o que precisamos avaliar); a resolução do limite começa no próximo passo.
Passo 3
Agora faço a substituição direta para identificar se é indeterminado. Calculando:
4^{1/2}=\sqrt{4}=2,
4^{3/2}=4^{1}\cdot 4^{1/2}=4\cdot 2=8.
Substituindo no numerador:
8-4\cdot 2-2\cdot 4+8 = 8-8-8+8 = 0.
No denominador:
4^{3}+64 = 64+64 = 128 \neq 0.
Observação importante: ao substituir encontramos numerador igual a 0 e denominador igual a 128. Portanto a forma não é indeterminada 0/0; a substituição direta já dá um valor bem definido para a fração. Porém — mas atenção! — houve um erro de leitura se aceitarmos rapidinho: precisamos verificar cuidadosamente o denominador original: \,x^{3}+64. Com x=4 temos realmente 64+64=128. Assim a razão vale 0/128=0. Ou seja, não precisamos aplicar L’Hospital porque já obtivemos 0 sobre não zero, que é 0.
Mas como o enunciado pediu “Use a regra de L’Hospital (quando possível)”, vamos mostrar também como procederia se tivéssemos obtido uma indeterminação e verificar a consistência: mesmo aplicando L’Hospital uma vez (quando apropriado), chegamos ao mesmo resultado. Vou demonstrar isso para treinar a regra.
Passo 4
Condição para aplicar a Regra de L’Hospital: ela pode ser usada se a substituição leva a uma forma indeterminada do tipo \,0/0 ou \,\infty/\infty, e se numerador e denominador são diferenciáveis numa vizinhança do ponto (exceto possivelmente no ponto). Aqui a substituição direta não gerou 0/0, mas suponha que quiséssemos aplicar a regra (por exemplo, se o denominador também fosse zero). A regra diz que
Conclusão: tanto pela substituição direta (numerador zero e denominador 128) quanto pelo procedimento de L’Hospital (derivadas levando a 0/48), o limite é 0. Fica claro também o uso da regra de L’Hospital: fomos capazes de derivar term a term usando a regra do poder e avaliar o novo quociente; aqui a aplicação confirma o resultado obtido por substituição direta.