Use a regra de L’Hospital (quando possível) para calcular os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{x^{3 / 2}-4 x^{1 / 2}-2 x+8}{x^{3}+64}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^{3/2}-4x^{1/2}-2x+8}{x^{3}+64}.
Informações dadas: a expressão da função no numerador \,x^{3/2}-4x^{1/2}-2x+8, e no denominador \,x^{3}+64, e o ponto de limite \,x\rightarrow 4.

Passo 2

Primeiro passo prático: verificar a forma indeterminada ao substituir x=4. Vamos avaliar numerador e denominador em x=4:
\text{numerador em }x=4: \;4^{3/2}-4\cdot 4^{1/2}-2\cdot 4+8,
\text{denominador em }x=4: \;4^{3}+64.
Não estou desenvolvendo ainda a conta detalhada da substituição aqui (só estou listando o que precisamos avaliar); a resolução do limite começa no próximo passo.

Passo 3

Agora faço a substituição direta para identificar se é indeterminado. Calculando:
4^{1/2}=\sqrt{4}=2,
4^{3/2}=4^{1}\cdot 4^{1/2}=4\cdot 2=8.
Substituindo no numerador:
8-4\cdot 2-2\cdot 4+8 = 8-8-8+8 = 0.
No denominador:
4^{3}+64 = 64+64 = 128 \neq 0.
Observação importante: ao substituir encontramos numerador igual a 0 e denominador igual a 128. Portanto a forma não é indeterminada 0/0; a substituição direta já dá um valor bem definido para a fração. Porém — mas atenção! — houve um erro de leitura se aceitarmos rapidinho: precisamos verificar cuidadosamente o denominador original: \,x^{3}+64. Com x=4 temos realmente 64+64=128. Assim a razão vale 0/128=0. Ou seja, não precisamos aplicar L’Hospital porque já obtivemos 0 sobre não zero, que é 0.
Mas como o enunciado pediu “Use a regra de L’Hospital (quando possível)”, vamos mostrar também como procederia se tivéssemos obtido uma indeterminação e verificar a consistência: mesmo aplicando L’Hospital uma vez (quando apropriado), chegamos ao mesmo resultado. Vou demonstrar isso para treinar a regra.

Passo 4

Condição para aplicar a Regra de L’Hospital: ela pode ser usada se a substituição leva a uma forma indeterminada do tipo \,0/0 ou \,\infty/\infty, e se numerador e denominador são diferenciáveis numa vizinhança do ponto (exceto possivelmente no ponto). Aqui a substituição direta não gerou 0/0, mas suponha que quiséssemos aplicar a regra (por exemplo, se o denominador também fosse zero). A regra diz que
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando as hipóteses são atendidas e o limite do quociente das derivadas existe ou é \pm\infty.
Vou calcular as derivadas do numerador e do denominador termo a termo, explicando as regras usadas.

Passo 5

Derivadas (usando regra do poder/potência: \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}, válida também para n fracionário):
Numerador N(x)=x^{3/2}-4x^{1/2}-2x+8.
  • \frac{d}{dx}x^{3/2}=\frac{3}{2}x^{1/2}.
  • \frac{d}{dx}(-4x^{1/2})=-4\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=-2x^{-1/2}.
    (Aqui usei que x^{1/2}=x^{1/2} e derivando: \frac{1}{2}x^{-1/2}, multiplicando por -4.)
  • \frac{d}{dx}(-2x)=-2.
  • \frac{d}{dx}8=0.
Portanto
N'(x)=\frac{3}{2}x^{1/2}-2x^{-1/2}-2.
Denominador D(x)=x^{3}+64.
  • \frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
  • \frac{d}{dx}64=0.
Logo
D'(x)=3x^{2}.

Passo 6

Agora, se aplicássemos L’Hospital teríamos o limite equivalente (quando adequado)
\lim_{x\to 4}\frac{N'(x)}{D'(x)}=\lim_{x\to 4}\frac{\frac{3}{2}x^{1/2}-2x^{-1/2}-2}{3x^{2}}.
Vamos avaliar essa expressão em x=4. Primeiro calcule as potências:
x^{1/2}\big|_{x=4}=2,\qquad x^{-1/2}\big|_{x=4}=\frac{1}{2},\qquad x^{2}\big|_{x=4}=16.
Substituindo em N'(x):
N'(4)=\frac{3}{2}\cdot 2 -2\cdot\frac{1}{2}-2.
Calcule passo a passo:
\frac{3}{2}\cdot 2 = 3,
-2\cdot\frac{1}{2} = -1,
logo
N'(4)=3-1-2=0.
No denominador:
D'(4)=3\cdot 16=48.
Portanto, o quociente das derivadas em 4 é
\frac{N'(4)}{D'(4)}=\frac{0}{48}=0.

Passo 7

Conclusão: tanto pela substituição direta (numerador zero e denominador 128) quanto pelo procedimento de L’Hospital (derivadas levando a 0/48), o limite é 0. Fica claro também o uso da regra de L’Hospital: fomos capazes de derivar term a term usando a regra do poder e avaliar o novo quociente; aqui a aplicação confirma o resultado obtido por substituição direta.

Resposta

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