Encontre pontos de máximo e de mínimo absolutos das funções dadas nos domínios indicados.
f(x)=\frac{x}{x^{2}-x+1} x \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os pontos de máximo e de mínimo absolutos da função
f(x)=\frac{x}{x^{2}-x+1},\qquad x\in\mathbb{R}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função está definida por uma expressão racional.
  • Devemos analisar toda a reta real como domínio (verificaremos se há pontos onde o denominador zera).
  • Precisamos indicar onde a função atinge o maior valor possível (máximo absoluto) e o menor valor possível (mínimo absoluto), e os valores correspondentes desses pontos.

Passo 2

Verificar o domínio (por que isso importa): o denominador é \;x^2-x+1\;. Para saber se ele zera para algum x calculamos o discriminante da quadrática:
\Delta = (-1)^2-4\cdot 1\cdot 1 = 1-4=-3.
Como \Delta<0, a quadrática não tem raízes reais e, além disso, seu coeficiente líder é 1>0, então \;x^2-x+1>0\; para todo x\in\mathbb{R}. Conclusão: a função está definida para todo x\in\mathbb{R} (domínio é \mathbb{R}).

Passo 3

Procurar pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe). Vamos calcular f'(x) usando a regra do quociente. Recordando a regra do quociente: se \;f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\; então
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2},
onde u'(x) e v'(x) são derivadas de u e v. Aqui tomamos u(x)=x e v(x)=x^2-x+1. Calculamos:
u'(x)=1,\qquad v'(x)=2x-1.
Aplicando a regra do quociente temos:
f'(x)=\frac{1\cdot (x^2-x+1)-x(2x-1)}{(x^2-x+1)^2}.
Agora simplificamos o numerador:
1\cdot (x^2-x+1)-x(2x-1)=x^2-x+1-(2x^2-x)=x^2-x+1-2x^2+x=1-x^2.
Portanto
f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2-x+1)^2}.

Passo 4

Resolver f'(x)=0 e analisar onde a derivada não existe: o denominador nunca é zero (já vimos que x^2-x+1>0), então f'(x)=0 exatamente quando o numerador é zero:
1-x^2=0\quad\Rightarrow\quad x^2=1\quad\Rightarrow\quad x=\pm 1.
Logo os pontos críticos são x=-1 e x=1. Agora fazemos um estudo de sinal de f'(x) para classificar esses pontos:
  • Para |x|<1 (por exemplo x=0) temos 1-x^2>0, logo f'(x)>0 — a função é crescente em (-1,1).
  • Para x>1 (por exemplo x=2) temos 1-x^2<0, logo f'(x)<0 — a função é decrescente em (1,\infty).
  • Para x<-1 (por exemplo x=-2) temos 1-x^2<0, logo f'(x)<0 — a função é decrescente em (-\infty,-1).
Assim, em x=-1 a derivada passa de negativa para positiva (decrescente → crescente) → ponto de mínimo local. Em x=1 a derivada passa de positiva para negativa (crescente → decrescente) → ponto de máximo local.

Passo 5

Calcular os valores da função nesses pontos críticos:
f(1)=\frac{1}{1^2-1+1}=\frac{1}{1}=1,
f(-1)=\frac{-1}{(-1)^2-(-1)+1}=\frac{-1}{1+1+1}=\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}.

Passo 6

Verificar o comportamento nos extremos do domínio (infinito) para decidir se os extremos locais são também absolutos. Calculamos os limites em infinito:
\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{x^2-x+1}.
Dividindo numerador e denominador por x^2:
\frac{x/x^2}{1 - 1/x + 1/x^2}=\frac{1/x}{1-1/x+1/x^2}\overset{x\to\pm\infty}{\longrightarrow}0.
Portanto os valores limites nas “bordas” do domínio são 0. Como f(1)=1>0 e f(-1)=-\tfrac{1}{3}<0, ainda precisamos comparar esses valores com todos os f(x) — vamos provar algébrica e diretamente que não existe valor maior que 1 nem menor que -\tfrac{1}{3}.

Passo 7

Provar que f(1)=1 é máximo absoluto. Considere
1-f(x)=1-\frac{x}{x^2-x+1}=\frac{x^2-x+1-x}{x^2-x+1}=\frac{x^2-2x+1}{x^2-x+1}=\frac{(x-1)^2}{x^2-x+1}.
O numerador (x-1)^2\ge 0 para todo x e o denominador é positivo para todo x, então 1-f(x)\ge 0 para todo x. Logo f(x)\le 1 para todo x\in\mathbb{R}. A igualdade ocorre exatamente quando (x-1)^2=0, ou seja, em x=1. Portanto f(1)=1 é máximo absoluto.

Passo 8

Provar que f(-1)=-\tfrac{1}{3} é mínimo absoluto. Considere
f(x)+\frac{1}{3}=\frac{x}{x^2-x+1}+\frac{1}{3}=\frac{3x+x^2-x+1}{3(x^2-x+1)}=\frac{x^2+2x+1}{3(x^2-x+1)}=\frac{(x+1)^2}{3(x^2-x+1)}.
De novo, (x+1)^2\ge 0 e o denominador é positivo, logo f(x)+\tfrac{1}{3}\ge 0 para todo x. Assim f(x)\ge -\tfrac{1}{3} para todo x, com igualdade quando x=-1. Portanto f(-1)=-\tfrac{1}{3} é mínimo absoluto.

Resposta

Máximo absoluto: em x=1, valor f(1)=1.
Mínimo absoluto: em x=-1, valor f(-1)=-\dfrac{1}{3}.

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