Encontre pontos de máximo e de mínimo absolutos das funções dadas nos domínios indicados.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os pontos de máximo e de mínimo absolutos da função
Informações dadas e observações iniciais:
- A função está definida por uma expressão racional.
- Devemos analisar toda a reta real como domínio (verificaremos se há pontos onde o denominador zera).
- Precisamos indicar onde a função atinge o maior valor possível (máximo absoluto) e o menor valor possível (mínimo absoluto), e os valores correspondentes desses pontos.
Passo 2
Verificar o domínio (por que isso importa): o denominador é
. Para saber se ele zera para algum
calculamos o discriminante da quadrática:
Como
, a quadrática não tem raízes reais e, além disso, seu coeficiente líder é
, então
para todo
. Conclusão: a função está definida para todo
(domínio é
).
Passo 3
Procurar pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe). Vamos calcular
usando a regra do quociente. Recordando a regra do quociente: se
então
onde
e
são derivadas de
e
. Aqui tomamos
e
. Calculamos:
Aplicando a regra do quociente temos:
Agora simplificamos o numerador:
Portanto
Passo 4
Resolver
e analisar onde a derivada não existe: o denominador nunca é zero (já vimos que
), então
exatamente quando o numerador é zero:
Logo os pontos críticos são
e
. Agora fazemos um estudo de sinal de
para classificar esses pontos:
- Para
(por exemplo ) temos , logo — a função é crescente em . - Para
(por exemplo ) temos , logo — a função é decrescente em . - Para
(por exemplo ) temos , logo — a função é decrescente em .
Assim, em
a derivada passa de negativa para positiva (decrescente → crescente) → ponto de mínimo local. Em
a derivada passa de positiva para negativa (crescente → decrescente) → ponto de máximo local.
Passo 5
Calcular os valores da função nesses pontos críticos:
Passo 6
Verificar o comportamento nos extremos do domínio (infinito) para decidir se os extremos locais são também absolutos. Calculamos os limites em infinito:
Dividindo numerador e denominador por
:
Portanto os valores limites nas “bordas” do domínio são
. Como
e
, ainda precisamos comparar esses valores com todos os
— vamos provar algébrica e diretamente que não existe valor maior que
nem menor que
.
Passo 7
Provar que
é máximo absoluto. Considere
O numerador
para todo
e o denominador é positivo para todo
, então
para todo
. Logo
para todo
. A igualdade ocorre exatamente quando
, ou seja, em
. Portanto
é máximo absoluto.
Passo 8
Provar que
é mínimo absoluto. Considere
De novo,
e o denominador é positivo, logo
para todo
. Assim
para todo
, com igualdade quando
. Portanto
é mínimo absoluto.
Resposta
Máximo absoluto: em
, valor
.
Mínimo absoluto: em , valor
.
Mínimo absoluto: em