Considere as seguintes funções e encontre as derivadas parciais indicadas:
m(x, y, z)=\ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle m(x,y,z)=\ln\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big) e pede para encontrar as derivadas parciais indicadas — ou seja, as derivadas parciais de m em relação a x, em relação a y e em relação a z.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é \displaystyle m(x,y,z)=\ln\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big).
  • O argumento do logaritmo precisa ser positivo, logo \displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}>0 (o ponto (0,0,0) está fora do domínio).

Passo 2

Vamos explicar a regra que vamos usar: a regra da cadeia para derivadas parciais. Se uma função é composta, ou seja, se m(x,y,z)=g\big(h(x,y,z)\big), então a derivada parcial de m em relação a uma variável (por exemplo x) é
\frac{\partial m}{\partial x} = g'\big(h(x,y,z)\big)\cdot \frac{\partial h}{\partial x}.
Aqui: g(u)=\ln(u) e h(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Sabemos também a derivada de g: para g(u)=\ln(u),
g'(u)=\frac{1}{u}.
Explicando em palavras: primeiro derivamos o “casco” \ln(\cdot) em relação ao seu argumento (dá 1/argumento), e depois multiplicamos pela derivada parcial do “miolo” x^{2}+y^{2}+z^{2} em relação à variável escolhida.

Passo 3

Calculemos a derivada parcial do miolo h(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} em relação a x. Lembre-se: derivada parcial em x significa tratar y e z como constantes. A derivada de x^{2} em relação a x é 2x. As derivadas de y^{2} e z^{2} em relação a x são 0 (são constantes quando x varia). Logo
\frac{\partial h}{\partial x}=2x.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para obter \partial m/\partial x. Usando g'(u)=1/u avaliado em u=h(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} e multiplicando por \partial h/\partial x=2x, obtemos
\frac{\partial m}{\partial x}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\cdot 2x=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Observação didática: aqui foi crucial aplicar passo a passo a regra da cadeia — primeiro a derivada do logaritmo, depois a derivada do polinômio quadrático.

Passo 5

Repetimos o mesmo raciocínio para \partial m/\partial y. Primeiro a derivada parcial do miolo em relação a y é
\frac{\partial h}{\partial y}=2y,
porque x^{2} e z^{2} são constantes em relação a y. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial m}{\partial y}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\cdot 2y=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 6

Analogamente, para \partial m/\partial z temos primeiro
\frac{\partial h}{\partial z}=2z,
e então
\frac{\partial m}{\partial z}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\cdot 2z=\frac{2z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 7

Resumo intuitivo e forma vetorial: as três derivadas juntas formam o gradiente
\nabla m=\frac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,(x,y,z),
ou seja, cada componente é 2 vezes a coordenada correspondente dividida por x^{2}+y^{2}+z^{2}. Lembre-se do domínio: essas fórmulas valem para todos os pontos com x^{2}+y^{2}+z^{2}>0.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial m}{\partial x}=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
\displaystyle \frac{\partial m}{\partial y}=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
\displaystyle \frac{\partial m}{\partial z}=\frac{2z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

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