Considere as seguintes funções e encontre as derivadas parciais indicadas:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar as derivadas parciais indicadas — ou seja, as derivadas parciais de
em relação a
, em relação a
e em relação a
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O argumento do logaritmo precisa ser positivo, logo
(o ponto está fora do domínio).
Passo 2
Vamos explicar a regra que vamos usar: a regra da cadeia para derivadas parciais. Se uma função é composta, ou seja, se
, então a derivada parcial de
em relação a uma variável (por exemplo
) é
Aqui:
e
. Sabemos também a derivada de
: para
,
Explicando em palavras: primeiro derivamos o “casco”
em relação ao seu argumento (dá
argumento), e depois multiplicamos pela derivada parcial do “miolo”
em relação à variável escolhida.
Passo 3
Calculemos a derivada parcial do miolo
em relação a
. Lembre-se: derivada parcial em
significa tratar
e
como constantes. A derivada de
em relação a
é
. As derivadas de
e
em relação a
são
(são constantes quando
varia). Logo
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia para obter
. Usando
avaliado em
e multiplicando por
, obtemos
Observação didática: aqui foi crucial aplicar passo a passo a regra da cadeia — primeiro a derivada do logaritmo, depois a derivada do polinômio quadrático.
Passo 5
Repetimos o mesmo raciocínio para
. Primeiro a derivada parcial do miolo em relação a
é
porque
e
são constantes em relação a
. Aplicando a regra da cadeia:
Passo 6
Analogamente, para
temos primeiro
e então
Passo 7
Resumo intuitivo e forma vetorial: as três derivadas juntas formam o gradiente
ou seja, cada componente é
vezes a coordenada correspondente dividida por
. Lembre-se do domínio: essas fórmulas valem para todos os pontos com
.