Considere as seguintes funções e encontre as derivadas parciais indicadas:
h(x, y)=\frac{e^{x}}{x+y};

Passo 1

Enunciado: a função dada é h(x,y)=\dfrac{e^{x}}{x+y}. O que nos pedem são as derivadas parciais indicadas, ou seja:
\frac{\partial h}{\partial x}(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial h}{\partial y}(x,y).
Informações dadas: a expressão explícita de h em termos de x e y é \dfrac{e^{x}}{x+y}. Não há pontos especiais indicados, então vamos obter as fórmulas gerais válidas para x+y\neq 0.

Passo 2

Entendendo o que é derivada parcial (rápido e direto): a derivada parcial de h em relação a x é a taxa de variação de h quando variamos x mantendo y fixo. Formalmente,
\frac{\partial h}{\partial x}(x,y)=\lim_{t\to 0}\frac{h(x+t,y)-h(x,y)}{t}.
Analogamente, a derivada parcial em relação a y é a taxa de variação quando variamos y mantendo x fixo:
\frac{\partial h}{\partial y}(x,y)=\lim_{t\to 0}\frac{h(x,y+t)-h(x,y)}{t}.
Na prática usamos regras de derivação (produto, cadeia, quociente) aplicadas mantendo a outra variável como constante.

Passo 3

Reescrever a função para facilitar as regras: é útil escrever
h(x,y)=e^{x}\,(x+y)^{-1}.
Aqui vemos h como produto de u(x,y)=e^{x} e v(x,y)=(x+y)^{-1}. Para derivar em relação a x usaremos a regra do produto, lembrando que v também depende de x (então aplicamos também a regra da cadeia ao derivar v). Para derivar em relação a y, e^{x} é tratado como constante multiplicativa.

Passo 4

Lembrando as regras que vamos usar (explicadas de leve):
  • Derivada de e^{x} em relação a x é e^{x}: isto é, \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • Derivada de (x+y)^{-1} em relação ao argumento x+y é -1\,(x+y)^{-2}. Pela regra da cadeia, ao derivar em relação a x ou y multiplicamos por \dfrac{d}{dx}(x+y)=1 ou \dfrac{d}{dy}(x+y)=1.
  • Regra do produto: se w(x)=u(x)\,v(x) então w'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Aqui aplicamos essa mesma ideia mantendo y fixo quando derivamos em x.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial h}{\partial x}. Usando h=e^{x}(x+y)^{-1} e a regra do produto:
\frac{\partial h}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x}\big)\cdot (x+y)^{-1} + e^{x}\cdot \frac{\partial}{\partial x}\big((x+y)^{-1}\big).
Agora cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x}\big)=e^{x}, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\big((x+y)^{-1}\big)=-1\,(x+y)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}(x+y)=- (x+y)^{-2}.
Substituindo:
\frac{\partial h}{\partial x}= e^{x}(x+y)^{-1} + e^{x}\big(- (x+y)^{-2}\big).
Colocando em uma única fração com denominador (x+y)^{2}:
\frac{\partial h}{\partial x} = e^{x}\left(\frac{1}{x+y}-\frac{1}{(x+y)^{2}}\right) = e^{x}\cdot\frac{(x+y)-1}{(x+y)^{2}}.
Portanto
\boxed{\displaystyle \frac{\partial h}{\partial x}(x,y)=\frac{e^{x}\big(x+y-1\big)}{(x+y)^{2}}\quad\text{(válido para }x+y\neq 0\text{).}}á

Passo 6

Cálculo de \dfrac{\partial h}{\partial y}. Aqui tratamos x como constante, então e^{x} é constante multiplicativa. Temos:
\frac{\partial h}{\partial y} = e^{x}\cdot \frac{\partial}{\partial y}\big((x+y)^{-1}\big).
E, como antes,
\frac{\partial}{\partial y}\big((x+y)^{-1}\big) = -1\,(x+y)^{-2}\cdot\frac{d}{dy}(x+y) = - (x+y)^{-2}.
Logo
\frac{\partial h}{\partial y} = e^{x}\big(- (x+y)^{-2}\big) = -\frac{e^{x}}{(x+y)^{2}}.

Passo 7

Comentário rápido de verificação (opcional, só para intuição): se você fixar y e aumentar x, o numerador e^{x} cresce, mas o denominador x+y também muda — a expressão para \partial h/\partial x que encontramos combina essas duas tendências (veja o termo x+y-1 no numerador). Para \partial h/\partial y aumentar y só aumenta o denominador, por isso a derivada em y é negativa: -e^{x}/(x+y)^{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial h}{\partial x}(x,y)=\frac{e^{x}\big(x+y-1\big)}{(x+y)^{2}}
\displaystyle \frac{\partial h}{\partial y}(x,y)=-\frac{e^{x}}{(x+y)^{2}}

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