Considere as seguintes funções e encontre as derivadas parciais indicadas:
;
Passo 1
Enunciado: a função dada é
. O que nos pedem são as derivadas parciais indicadas, ou seja:
Informações dadas: a expressão explícita de
em termos de
e
é
. Não há pontos especiais indicados, então vamos obter as fórmulas gerais válidas para
.
Passo 2
Entendendo o que é derivada parcial (rápido e direto): a derivada parcial de
em relação a
é a taxa de variação de
quando variamos
mantendo
fixo. Formalmente,
Analogamente, a derivada parcial em relação a
é a taxa de variação quando variamos
mantendo
fixo:
Na prática usamos regras de derivação (produto, cadeia, quociente) aplicadas mantendo a outra variável como constante.
Passo 3
Reescrever a função para facilitar as regras: é útil escrever
Aqui vemos
como produto de
e
. Para derivar em relação a
usaremos a regra do produto, lembrando que
também depende de
(então aplicamos também a regra da cadeia ao derivar
). Para derivar em relação a
,
é tratado como constante multiplicativa.
Passo 4
Lembrando as regras que vamos usar (explicadas de leve):
- Derivada de
em relação a é : isto é, . - Derivada de
em relação ao argumento é . Pela regra da cadeia, ao derivar em relação a ou multiplicamos por ou . - Regra do produto: se
então . Aqui aplicamos essa mesma ideia mantendo fixo quando derivamos em .
Passo 5
Cálculo de
. Usando
e a regra do produto:
Agora cada termo:
Substituindo:
Colocando em uma única fração com denominador
:
Portanto
Passo 6
Cálculo de
. Aqui tratamos
como constante, então
é constante multiplicativa. Temos:
E, como antes,
Logo
Passo 7
Comentário rápido de verificação (opcional, só para intuição): se você fixar
e aumentar
, o numerador
cresce, mas o denominador
também muda — a expressão para
que encontramos combina essas duas tendências (veja o termo
no numerador). Para
aumentar
só aumenta o denominador, por isso a derivada em
é negativa:
.