Encontre os pontos de máximo e mínimo da função
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- A função dada é
. - A restrição imposta é
. - O enunciado pede: encontrar os pontos de máximo e mínimo de
sujeitos à restrição .
Informações relevantes:
- A restrição
implica que nem nem podem ser zero. Ou seja, o domínio da solução tem e . - A curva
é uma hipérbole com dois ramos: um no primeiro quadrante ( ) e outro no terceiro quadrante ( ).
Passo 2
Escolha do método (e por quê): uma maneira simples e direta é usar a restrição para eliminar uma variável e reduzir o problema a uma função de uma variável. Isso evita o método de multiplicadores de Lagrange (que também funciona) e usa apenas cálculo de uma variável, mais básico e rápido para prova. Assim, da restrição
podemos isolar
como função de
:
Substituindo em
definimos a função de uma variável
Passo 3
Encontrar os pontos críticos de
usando derivada. Primeiro calculamos a derivada de
:
Para achar pontos críticos resolvemos
:
Multiplicando ambos os lados por
(permitido pois
):
Logo
As soluções reais são
Para cada
encontramos
pela restrição
:
Portanto os candidatos são os pontos
e
.
Passo 4
Testar a natureza dos pontos críticos (mínimo, máximo ou ponto de sela). Vamos usar a segunda derivada de
. Calculamos
Observação: para todo
tem-se
, portanto
Como a segunda derivada é positiva em todos os pontos do domínio, qualquer ponto crítico é um mínimo local. Assim,
e
são mínimos locais.
Passo 5
Verificar se são mínimos globais e existência de máximo: analisar o comportamento de
quando
tende a
ou a
.
- Quando
tem-se , então . - Quando
tem-se , então .
Portanto os valores em
e
são menores do que os valores de
para
muito pequenos ou muito grandes; combinando com o fato de que as únicas críticas são esses pontos e que a função tende a
nas extremidades, concluímos que são mínimos globais. Como
tende a
arbitrariamente, não existe valor máximo sob a restrição (ou seja, não há ponto de máximo).
Passo 6
Calcular o valor mínimo de
nesses pontos:
Ambos os pontos dão o mesmo mínimo global
.
Resposta
Pontos de mínimo:
e
, com valor mínimo
.
Não existem pontos de máximo (a função não é limitada superiormente sob a restrição).
Não existem pontos de máximo (a função não é limitada superiormente sob a restrição).