Encontre os pontos de máximo e mínimo da função
f(x, y)=x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2 \text { sujeita à restrição } x y=1 .àçã

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • A função dada é f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • A restrição imposta é x y=1.
  • O enunciado pede: encontrar os pontos de máximo e mínimo de f sujeitos à restrição x y=1.
Informações relevantes:
  • A restrição x y=1 implica que nem x nem y podem ser zero. Ou seja, o domínio da solução tem x\neq 0 e y\neq 0.
  • A curva x y=1 é uma hipérbole com dois ramos: um no primeiro quadrante ( x>0,y>0) e outro no terceiro quadrante ( x<0,y<0).

Passo 2

Escolha do método (e por quê): uma maneira simples e direta é usar a restrição para eliminar uma variável e reduzir o problema a uma função de uma variável. Isso evita o método de multiplicadores de Lagrange (que também funciona) e usa apenas cálculo de uma variável, mais básico e rápido para prova. Assim, da restrição x y=1 podemos isolar y como função de x:
y=\frac{1}{x},\qquad x\neq 0.
Substituindo em f definimos a função de uma variável
g(x)=f\bigl(x,\tfrac{1}{x}\bigr)=x^{2}+\left(\frac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}+x^{-2},\qquad x\neq 0.

Passo 3

Encontrar os pontos críticos de g(x) usando derivada. Primeiro calculamos a derivada de g:
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+x^{-2}\bigr)=2x-2x^{-3}.
Para achar pontos críticos resolvemos g'(x)=0:
2x-2x^{-3}=0.
Multiplicando ambos os lados por x^{3} (permitido pois x\neq 0):
2x^{4}-2=0.
Logo
x^{4}=1.
As soluções reais são
x=1\quad\text{ou}\quad x=-1.
Para cada x encontramos y pela restrição y=1/x:
\text{se }x=1\Rightarrow y=1;\qquad \text{se }x=-1\Rightarrow y=-1.
Portanto os candidatos são os pontos \bigl(1,1\bigr) e \bigl(-1,-1\bigr).

Passo 4

Testar a natureza dos pontos críticos (mínimo, máximo ou ponto de sela). Vamos usar a segunda derivada de g. Calculamos
g''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x-2x^{-3}\bigr)=2+6x^{-4}.
Observação: para todo x\neq 0 tem-se x^{-4}>0, portanto
g''(x)=2+6x^{-4}>0\quad\text{para todo }x\neq 0.
Como a segunda derivada é positiva em todos os pontos do domínio, qualquer ponto crítico é um mínimo local. Assim, \bigl(1,1\bigr) e \bigl(-1,-1\bigr) são mínimos locais.

Passo 5

Verificar se são mínimos globais e existência de máximo: analisar o comportamento de g(x) quando x tende a 0 ou a \pm\infty.
  • Quando x\to 0 tem-se x^{-2}\to +\infty, então g(x)\to +\infty.
  • Quando |x|\to\infty tem-se x^{2}\to +\infty, então g(x)\to +\infty.
Portanto os valores em \bigl(1,1\bigr) e \bigl(-1,-1\bigr) são menores do que os valores de g para x muito pequenos ou muito grandes; combinando com o fato de que as únicas críticas são esses pontos e que a função tende a +\infty nas extremidades, concluímos que são mínimos globais. Como g(x) tende a +\infty arbitrariamente, não existe valor máximo sob a restrição (ou seja, não há ponto de máximo).

Passo 6

Calcular o valor mínimo de f nesses pontos:
f(1,1)=1^{2}+1^{2}=2,\qquad f(-1,-1)=(-1)^{2}+(-1)^{2}=2.
Ambos os pontos dão o mesmo mínimo global f=2.

Resposta

Pontos de mínimo: (1,1) e (-1,-1), com valor mínimo f=2.
Não existem pontos de máximo (a função não é limitada superiormente sob a restrição).

Exercícios relacionados