Encontre e classifique os pontos críticos de:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que sejam encontrados e classificados os pontos críticos (ou seja, os pontos onde o gradiente é nulo, e que tipo de extremo cada ponto corresponde).
Informações relevantes fornecidas:
- A função está definida para todos os pontos de
. - Uma quantidade útil a introduzir é
(isto é só um atalho que facilita ver a simetria radial da função). - O objetivo: encontrar todos os pontos
tais que e classificar cada um (mínimo, máximo, sela, isolado/não isolado, etc.).
Passo 2
Vamos calcular o gradiente
passo a passo. Primeiro explico a ferramenta que usarei: produto e cadeia. Se
, então
e se
com
, então por regra da cadeia
No nosso caso
e
. Então:
Aplicando a regra do produto:
Fatorando
obtemos
Analogamente, por simetria (ou repetindo o cálculo):
Comentário didático curto: a fatoração acima é muito útil porque
para todo
, então os zeros do gradiente vêm de
e
.
Passo 3
Agora resolvemos o sistema
, isto é
Como
e
, as equações equivalem a
Para que ambas sejam satisfeitas simultaneamente, há duas possibilidades:
-
, isto é . Isso significa todos os pontos com
ou seja, toda a circunferência de raio
.
- Se
, então precisamos de e simultaneamente, ou seja o ponto
Portanto o conjunto de pontos críticos é
Passo 4
Agora vamos classificar esses pontos críticos. Duas ferramentas úteis: (A) estudar a função no raio
(reduzir ao caso unidimensional pela simetria radial) e (B) a matriz Hessiana para confirmação local.
(A) Estudo radial (muito intuitivo e normalmente suficiente para funções radiais). Defina
e a função unidimensional
Note que
. Derivando
:
Os pontos críticos de
ocorrem quando
, isto é
. Além disso
A segunda derivada de
é
Em
temos
, logo
é um máximo local (na variável
). Em
não é interior da definição de
no sentido unidimensional, mas comparando valores vemos que
e para pequenos
vale
(pois
), então
é um mínimo local (na verdade mínimo global para
).
Transpondo para a original em
:
- Todos os pontos com
têm o mesmo valor e são máximos (no sentido que, variando radialmente, diminui); como há um anel inteiro de pontos com esse valor, são máximos não isolados e, de fato, atingem o valor máximo global . - O ponto
corresponde a e tem . Em uma pequena bola ao redor de (exceto a origem), e , então é um mínimo estrito local. Como em todo e somente torna , esse mínimo é também mínimo global.
(B) Confirmação via Hessiana (opcional, mas instrutivo). A Hessiana
tem entradas obtidas derivando
e
. Um cálculo direto (feito com cuidado usando produto e cadeia) produz, para
,
- Em
temos e , que é definida positiva. Isso confirma que é um mínimo estrito local (e, como explicado, é mínimo global). - Em um ponto com
(ou seja ) a Hessiana se reduz a
Essa matriz tem um autovalor negativo
na direção radial
e um autovalor
na direção tangencial (ortogonal a
). Logo a Hessiana é semidefinida negativa (não definida negativa estrita), o que reflete que os pontos na circunferência são máximos na direção radial mas a função é constante ao mover-se tangencialmente — por isso os máximos não são isolados. Isso confirma que os pontos da circunferência são máximos (globais) não isolados.]
Passo 5
Resumo final das conclusões (valores da função inclusos):
- O ponto
é ponto crítico e . É um mínimo estrito local e também o mínimo global da função. - Todos os pontos com
são pontos críticos e nesses pontos. Esses pontos são máximos (globais) da função, formando um conjunto não isolado (a circunferência de raio ).