Encontre e classifique os pontos críticos de:
f(x, y)=\left(x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2\right) e^{\wedge}-\left(x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)e^{-(x^{2}+y^{2})}
e pede que sejam encontrados e classificados os pontos críticos (ou seja, os pontos onde o gradiente é nulo, e que tipo de extremo cada ponto corresponde).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida para todos os pontos de \mathbb{R}^{2}.
  • Uma quantidade útil a introduzir é r^{2}=x^{2}+y^{2} (isto é só um atalho que facilita ver a simetria radial da função).
  • O objetivo: encontrar todos os pontos (x,y) tais que \nabla f(x,y)=0 e classificar cada um (mínimo, máximo, sela, isolado/não isolado, etc.).

Passo 2

Vamos calcular o gradiente \nabla f=(f_{x},f_{y}) passo a passo. Primeiro explico a ferramenta que usarei: produto e cadeia. Se \,f(x,y)=u(x,y)\,v(x,y), então
f_{x}=u_{x}v+u\,v_{x},
e se v(x,y)=e^{-r^{2}} com r^{2}=x^{2}+y^{2}, então por regra da cadeia
v_{x}=e^{-r^{2}}\cdot(-1)\cdot (r^{2})_{x}=e^{-r^{2}}\cdot(-1)\cdot 2x=-2x e^{-r^{2}}.
No nosso caso u(x,y)=x^{2}+y^{2}=r^{2} e v(x,y)=e^{-r^{2}}. Então:
u_{x}=2x,\qquad v_{x}=-2x e^{-r^{2}}.
Aplicando a regra do produto:
f_{x}=u_{x}v+u\,v_{x}=2x e^{-r^{2}} + (x^{2}+y^{2})(-2x)e^{-r^{2}}.
Fatorando 2x e^{-r^{2}} obtemos
f_{x}=2x e^{-r^{2}}\bigl(1-(x^{2}+y^{2})\bigr)=2x e^{-r^{2}}(1-r^{2}).
Analogamente, por simetria (ou repetindo o cálculo):
f_{y}=2y e^{-r^{2}}(1-r^{2}).
Comentário didático curto: a fatoração acima é muito útil porque e^{-r^{2}}>0 para todo (x,y), então os zeros do gradiente vêm de 2x(1-r^{2})=0 e 2y(1-r^{2})=0.

Passo 3

Agora resolvemos o sistema \nabla f=0, isto é
2x e^{-r^{2}}(1-r^{2})=0,\qquad 2y e^{-r^{2}}(1-r^{2})=0.
Como e^{-r^{2}}\neq 0 e 2\neq 0, as equações equivalem a
x(1-r^{2})=0,\qquad y(1-r^{2})=0.
Para que ambas sejam satisfeitas simultaneamente, há duas possibilidades:
  1. 1-r^{2}=0, isto é r^{2}=1. Isso significa todos os pontos com
x^{2}+y^{2}=1,
ou seja, toda a circunferência de raio 1.
  1. Se 1-r^{2}\neq 0, então precisamos de x=0 e y=0 simultaneamente, ou seja o ponto
(x,y)=(0,0).
Portanto o conjunto de pontos críticos é
\{(0,0)\}\cup\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}.

Passo 4

Agora vamos classificar esses pontos críticos. Duas ferramentas úteis: (A) estudar a função no raio r (reduzir ao caso unidimensional pela simetria radial) e (B) a matriz Hessiana para confirmação local.
(A) Estudo radial (muito intuitivo e normalmente suficiente para funções radiais). Defina s=r^{2}\ge 0 e a função unidimensional
h(s)=s e^{-s},\qquad s\ge 0.
Note que f(x,y)=h(r^{2})=h(s). Derivando h:
h'(s)=e^{-s}(1-s).
Os pontos críticos de h ocorrem quando h'(s)=0, isto é s=1. Além disso
h(0)=0,\qquad h(1)=\frac{1}{e},\qquad \lim_{s\to\infty}h(s)=0.
A segunda derivada de h é
h''(s)=-e^{-s}(2-s).
Em s=1 temos h''(1)=-e^{-1}<0, logo s=1 é um máximo local (na variável s). Em s=0 não é interior da definição de s\ge 0 no sentido unidimensional, mas comparando valores vemos que h(0)=0 e para pequenos s>0 vale h(s)>0 (pois h(s)=s-s^{2}+\cdots), então s=0 é um mínimo local (na verdade mínimo global para s\ge 0).
Transpondo para a original em (x,y):
  • Todos os pontos com r^{2}=1 têm o mesmo valor f=1/e e são máximos (no sentido que, variando radialmente, f diminui); como há um anel inteiro de pontos com esse valor, são máximos não isolados e, de fato, atingem o valor máximo global 1/e.
  • O ponto (0,0) corresponde a s=0 e tem f(0,0)=0. Em uma pequena bola ao redor de (0,0) (exceto a origem), r>0 e f(r)>0, então (0,0) é um mínimo estrito local. Como f\ge 0 em todo \mathbb{R}^{2} e somente (0,0) torna f=0, esse mínimo é também mínimo global.
(B) Confirmação via Hessiana (opcional, mas instrutivo). A Hessiana H tem entradas obtidas derivando f_{x} e f_{y}. Um cálculo direto (feito com cuidado usando produto e cadeia) produz, para s=r^{2},
H(x,y)=e^{-s}\begin{pmatrix} 2(1-s)-4x^{2}(2-s) & -4xy(2-s)\\[4pt] -4xy(2-s) & 2(1-s)-4y^{2}(2-s) \end{pmatrix}.
  • Em (0,0) temos s=0 e H(0,0)=\begin{pmatrix}2&0\\[2pt]0&2\end{pmatrix}, que é definida positiva. Isso confirma que (0,0) é um mínimo estrito local (e, como explicado, é mínimo global).
  • Em um ponto com s=1 (ou seja x^{2}+y^{2}=1) a Hessiana se reduz a
H(x,y)=-\frac{4}{e}\begin{pmatrix}x^{2}&xy\\[4pt]xy&y^{2}\end{pmatrix}.
Essa matriz tem um autovalor negativo -4/e na direção radial (x,y) e um autovalor 0 na direção tangencial (ortogonal a (x,y)). Logo a Hessiana é semidefinida negativa (não definida negativa estrita), o que reflete que os pontos na circunferência são máximos na direção radial mas a função é constante ao mover-se tangencialmente — por isso os máximos não são isolados. Isso confirma que os pontos da circunferência são máximos (globais) não isolados.]

Passo 5

Resumo final das conclusões (valores da função inclusos):
  • O ponto (0,0) é ponto crítico e \,f(0,0)=0. É um mínimo estrito local e também o mínimo global da função.
  • Todos os pontos com x^{2}+y^{2}=1 são pontos críticos e \,f(x,y)=1/e nesses pontos. Esses pontos são máximos (globais) da função, formando um conjunto não isolado (a circunferência de raio 1).

Resposta

(0,0): mínimo global (mínimo estrito local), com f(0,0)=0.
\{(x,y):x^{2}+y^{2}=1\}: máximos globais (não isolados), com f(x,y)=1/e.

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