Encontre os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existerem) da função f dada por:
f(x)=\sqrt[3]{x^{2}}(x-1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximos e mínimos relativos (se existirem) da função f dada por
f(x)=\sqrt[3]{x^{2}}(x-1).
Informações relevantes do enunciado:
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R} (pois \sqrt[3]{x^{2}} é bem definida para todo x).
  • É preciso achar pontos onde f tem máximo ou mínimo relativo; para isso vamos procurar pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não existe) e analisar o sinal de f' em torno deles.

Passo 2

Primeiro simplificar a escrita da função para facilitar a diferenciação. Note que
\sqrt[3]{x^{2}}=(x^{2})^{1/3}=|x|^{2/3},
pois x^{2}\ge0 e a raiz cúbica de um número não-negativo é não-negativa. Logo podemos reescrever
f(x)=|x|^{2/3}(x-1).
Explicação rápida (intuitiva) do porquê: x^{2} elimina o sinal de x, depois elevando a 1/3 volta-se a uma potência positiva, portanto o resultado depende de |x|.

Passo 3

Vamos diferenciar f. Como aparece |x|^{2/3}, é mais prático trabalhar peça a peça (duas fórmulas, para x>0 e para x<0). Para x>0 temos |x|=x e para x<0 temos |x|=-x.
Caso x>0: escrevemos f(x)=x^{2/3}(x-1). Aplicando a regra do produto:
f'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}(x-1)+x^{2/3}\quad (x>0).
Fatorando x^{-1/3} fica
f'(x)=x^{-1/3}\left(\frac{2}{3}(x-1)+x\right) = x^{-1/3}\cdot\frac{1}{3}(5x-2).
Assim, para x>0:
f'(x)=\frac{1}{3}x^{-1/3}(5x-2).
Caso x<0: escrevemos f(x)=(-x)^{2/3}(x-1). Use a regra do produto e a derivada de (-x)^{2/3}. A derivada de |x|^{2/3} para x<0 é
\frac{d}{dx}|x|^{2/3}=\frac{2}{3}(-x)^{-1/3}\cdot(-1)= -\frac{2}{3}(-x)^{-1/3}.
Aplicando isso:
f'(x)=-\frac{2}{3}(-x)^{-1/3}(x-1)+(-x)^{2/3}\quad (x<0).
Fatorando (-x)^{-1/3} (positivo) obtemos
f'(x)=(-x)^{-1/3}\left(-\frac{2}{3}(x-1)+(-x)\right) = (-x)^{-1/3}\cdot\frac{1}{3}(2-5x).
Portanto, para x<0:
f'(x)=\frac{1}{3}(-x)^{-1/3}(2-5x).
Observação: em x=0 a expressão para f' acima tem o fator x^{-1/3} ou (-x)^{-1/3}, que explode; portanto f' não existe em x=0. Assim x=0 é um ponto crítico por falta de derivada.

Passo 4

Agora achamos os pontos onde f'(x)=0 (em regiões onde f' está definida) e juntamos com pontos onde f' não existe.
  • Para x>0, a condição f'(x)=0
\frac{1}{3}x^{-1/3}(5x-2)=0 \quad\Rightarrow\quad 5x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{2}{5}.
Como \tfrac{2}{5}>0, este é um candidato válido.
  • Para x<0, a condição f'(x)=0
\frac{1}{3}(-x)^{-1/3}(2-5x)=0 \quad\Rightarrow\quad 2-5x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{2}{5},
mas \tfrac{2}{5} não está em x<0, logo não há raízes de f' em x<0.
  • Como observado, em x=0 a derivada não existe, então x=0 é ponto crítico.
Conclusão: os pontos críticos a analisar são x=0 e x=\tfrac{2}{5}.

Passo 5

Vamos usar o teste da primeira derivada (analisar o sinal de f' em intervalos) para determinar se cada ponto crítico é máximo, mínimo ou nenhum.
Determinar o sinal de f':
  • Para x<0: usamos f'(x)=\dfrac{1}{3}(-x)^{-1/3}(2-5x). O fator (-x)^{-1/3} é sempre positivo quando x<0. Para x<0 tem-se 2-5x>2 (pois -5x>0), logo 2-5x>0. Portanto f'(x)>0 para todo x<0. Logo em toda a região à esquerda de 0 a função está crescendo.
  • Para 0<x<\tfrac{2}{5}: usamos f'(x)=\dfrac{1}{3}x^{-1/3}(5x-2). Aqui x^{-1/3}>0 e para 0<x<\tfrac{2}{5} temos 5x-2<0. Portanto f'(x)<0 neste intervalo; a função está decrescendo imediatamente à direita de 0.
  • Para x>\tfrac{2}{5}: novamente x^{-1/3}>0 e agora 5x-2>0, logo f'(x)>0. A função cresce para a direita de \tfrac{2}{5}.
Interpretando as mudanças de sinal:
  • Em x=0 a derivada passa de positiva (à esquerda) para negativa (à direita). Isso significa que f tem um máximo relativo em x=0.
  • Em x=\tfrac{2}{5} a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita). Isso significa que f tem um mínimo relativo em x=\tfrac{2}{5}.

Passo 6

Calcular os valores da função nesses pontos para apresentar as coordenadas dos extremos.
  • Em x=0:
f(0)=\sqrt[3]{0^{2}}(0-1)=0\cdot(-1)=0.
  • Em x=\dfrac{2}{5}:
f\!\left(\frac{2}{5}\right)=\left(\frac{2}{5}\right)^{2/3}\!\left(\frac{2}{5}-1\right) =\left(\frac{2}{5}\right)^{2/3}\left(-\frac{3}{5}\right) =-\frac{3}{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{2/3}.
Podemos escrever de forma alternativa simplificada:
f\!\left(\frac{2}{5}\right)=-\frac{3\cdot 2^{2/3}}{5^{5/3}}.
Se for útil para intuição, uma aproximação numérica é
f\!\left(\frac{2}{5}\right)\approx -0{,}289\quad\text{(aprox.)}.

Passo 7

Conclusões finais, em linguagem direta:
  • Em x=0 há um máximo relativo; o ponto é \bigl(0,\,0\bigr).
  • Em x=\dfrac{2}{5} há um mínimo relativo; o ponto é \displaystyle\left(\frac{2}{5},\,-\frac{3\cdot 2^{2/3}}{5^{5/3}}\right).
Força aí — lembre que um ponto onde a derivada não existe (como x=0) pode muito bem ser um extremo, e o teste de variação do sinal da derivada é a maneira mais direta de confirmar isso sem precisar de derivadas mais complicadas. 😃

Resposta

Máximo relativo: x=0, com f(0)=0.
Mínimo relativo: x=\dfrac{2}{5}, com f\!\left(\dfrac{2}{5}\right)=-\dfrac{3\cdot 2^{2/3}}{5^{5/3}}.

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