Encontre os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existerem) da função
dada por:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos de máximos e mínimos relativos (se existirem) da função
dada por
Informações relevantes do enunciado:
- A função está definida para todo
(pois é bem definida para todo ). - É preciso achar pontos onde
tem máximo ou mínimo relativo; para isso vamos procurar pontos críticos (onde ou não existe) e analisar o sinal de em torno deles.
Passo 2
Primeiro simplificar a escrita da função para facilitar a diferenciação. Note que
pois
e a raiz cúbica de um número não-negativo é não-negativa. Logo podemos reescrever
Explicação rápida (intuitiva) do porquê:
elimina o sinal de
, depois elevando a
volta-se a uma potência positiva, portanto o resultado depende de
.
Passo 3
Vamos diferenciar
. Como aparece
, é mais prático trabalhar peça a peça (duas fórmulas, para
e para
). Para
temos
e para
temos
.
Caso
: escrevemos
. Aplicando a regra do produto:
Fatorando
fica
Assim, para
:
Caso
: escrevemos
. Use a regra do produto e a derivada de
. A derivada de
para
é
Aplicando isso:
Fatorando
(positivo) obtemos
Portanto, para
:
Observação: em
a expressão para
acima tem o fator
ou
, que explode; portanto
não existe em
. Assim
é um ponto crítico por falta de derivada.
Passo 4
Agora achamos os pontos onde
(em regiões onde
está definida) e juntamos com pontos onde
não existe.
- Para
, a condição dá
Como
, este é um candidato válido.
- Para
, a condição dá
mas
não está em
, logo não há raízes de
em
.
- Como observado, em
a derivada não existe, então é ponto crítico.
Conclusão: os pontos críticos a analisar são
e
.
Passo 5
Vamos usar o teste da primeira derivada (analisar o sinal de
em intervalos) para determinar se cada ponto crítico é máximo, mínimo ou nenhum.
Determinar o sinal de
:
-
Para
: usamos . O fator é sempre positivo quando . Para tem-se (pois ), logo . Portanto para todo . Logo em toda a região à esquerda de a função está crescendo. -
Para
: usamos . Aqui e para temos . Portanto neste intervalo; a função está decrescendo imediatamente à direita de . -
Para
: novamente e agora , logo . A função cresce para a direita de .
Interpretando as mudanças de sinal:
- Em
a derivada passa de positiva (à esquerda) para negativa (à direita). Isso significa que tem um máximo relativo em . - Em
a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita). Isso significa que tem um mínimo relativo em .
Passo 6
Calcular os valores da função nesses pontos para apresentar as coordenadas dos extremos.
- Em
:
- Em
:
Podemos escrever de forma alternativa simplificada:
Se for útil para intuição, uma aproximação numérica é
Passo 7
Conclusões finais, em linguagem direta:
- Em
há um máximo relativo; o ponto é . - Em
há um mínimo relativo; o ponto é .
Força aí — lembre que um ponto onde a derivada não existe (como
) pode muito bem ser um extremo, e o teste de variação do sinal da derivada é a maneira mais direta de confirmar isso sem precisar de derivadas mais complicadas. 😃
Resposta
Máximo relativo:
, com
.
Mínimo relativo: , com
.
Mínimo relativo: