Encontre os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existerem) da função f dada por:
f(x)=x^{2}+\frac{16}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximos e mínimos relativos (se existirem) da função f dada por
f(x)=x^{2}+\frac{16}{x^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão da função é f(x)=x^{2}+16x^{-2}.
  • O domínio implícito é todos os reais com x\neq0 (porque há divisão por x^{2}).
  • As perguntas são: quais são os pontos críticos (onde f' é zero ou não existe, dentro do domínio) e, entre esses, quais são máximos relativos e quais são mínimos relativos.

Passo 2

Conceito e estratégia rápida: para achar extremos relativos de uma função diferenciável (no domínio), a abordagem padrão é:
  • calcular a derivada f'(x),
  • achar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0 (e verificando pontos onde f' não existe, se estiverem no domínio),
  • usar o teste da segunda derivada ou analisar o sinal de f' para classificar cada ponto crítico como mínimo, máximo ou ponto de sela.
Cálculo da derivada (regra do poder):
  • A derivada de x^{2} é 2x.
  • A derivada de \dfrac{16}{x^{2}} = 16x^{-2} é 16\cdot(-2)x^{-3}=-32x^{-3}.
    Portanto
f'(x)=2x-\frac{32}{x^{3}}.

Passo 3

Encontrar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0, lembrando que x\neq0:
2x-\frac{32}{x^{3}}=0.
Multiplica-se ambos os lados por x^{3} (válido porque estamos considerando x\neq0):
2x^{4}-32=0.
Isolando:
2x^{4}=32\quad\Rightarrow\quad x^{4}=16.
As raízes reais de x^{4}=16 são x=\pm 2 (as outras duas raízes são complexas). Além disso, f' não existe em x=0, mas x=0 não pertence ao domínio, então não entra como ponto crítico válido aqui. Logo, os pontos críticos reais são
x=-2\quad\text{e}\quad x=2.

Passo 4

Classificação com a segunda derivada (explicação do teste): se f''(x_0)>0 então f tem mínimo local em x_0; se f''(x_0)<0 então tem máximo local; se f''(x_0)=0 o teste é inconclusivo.
Calculemos f''(x). Derivando f'(x)=2x-32x^{-3}:
  • derivada de 2x é 2,
  • derivada de -32x^{-3} é -32\cdot(-3)x^{-4}=96x^{-4}.
    Portanto
f''(x)=2+\frac{96}{x^{4}}.
Observação importante: para todo x\neq0 temos x^{4}>0, logo \dfrac{96}{x^{4}}>0. Assim f''(x)=2+\dfrac{96}{x^{4}}>2>0 para todo x no domínio. Em particular,
f''(2)>0\quad\text{e}\quad f''(-2)>0.
Pelo teste da segunda derivada, em x=2 e em x=-2 a função tem mínimos locais.

Passo 5

Valores nos pontos críticos (para dar o valor do mínimo):
Calcule f(2) e f(-2):
f(2)=2^{2}+\frac{16}{2^{2}}=4+\frac{16}{4}=4+4=8,
f(-2)=(-2)^{2}+\frac{16}{(-2)^{2}}=4+\frac{16}{4}=8.
Portanto ambos os pontos críticos têm valor 8.
Além disso, um comentário de sensação global: \displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=+\infty (devido a 16/x^{2}) e \displaystyle\lim_{|x|\to\infty}f(x)=+\infty (devido ao x^{2}). Como nos extremos do domínio a função tende a +\infty e os únicos pontos onde a derivada zera são x=\pm2 com valores finitos, esses mínimos são, na verdade, mínimos globais. (Opcional: pode-se também usar a desigualdade AM–GM para ver diretamente que x^{2}+\dfrac{16}{x^{2}}\ge 2\sqrt{x^{2}\cdot\dfrac{16}{x^{2}}}=8, com igualdade quando x^{2}=4, i.e. x=\pm2.)

Resposta

Pontos de mínimo relativo (e global): x=-2 e x=2, com f(-2)=f(2)=8.
Não existem pontos de máximo relativo.

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