Encontre os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existerem) da função
dada por:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos de máximos e mínimos relativos (se existirem) da função
dada por
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão da função é
. - O domínio implícito é todos os reais com
(porque há divisão por ). - As perguntas são: quais são os pontos críticos (onde
é zero ou não existe, dentro do domínio) e, entre esses, quais são máximos relativos e quais são mínimos relativos.
Passo 2
Conceito e estratégia rápida: para achar extremos relativos de uma função diferenciável (no domínio), a abordagem padrão é:
- calcular a derivada
, - achar os pontos críticos resolvendo
(e verificando pontos onde não existe, se estiverem no domínio), - usar o teste da segunda derivada ou analisar o sinal de
para classificar cada ponto crítico como mínimo, máximo ou ponto de sela.
Cálculo da derivada (regra do poder):
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Portanto
Passo 3
Encontrar os pontos críticos resolvendo
, lembrando que
:
Multiplica-se ambos os lados por
(válido porque estamos considerando
):
Isolando:
As raízes reais de
são
(as outras duas raízes são complexas). Além disso,
não existe em
, mas
não pertence ao domínio, então não entra como ponto crítico válido aqui. Logo, os pontos críticos reais são
Passo 4
Classificação com a segunda derivada (explicação do teste): se
então
tem mínimo local em
; se
então tem máximo local; se
o teste é inconclusivo.
Calculemos
. Derivando
:
- derivada de
é , - derivada de
é .
Portanto
Observação importante: para todo
temos
, logo
. Assim
para todo
no domínio. Em particular,
Pelo teste da segunda derivada, em
e em
a função tem mínimos locais.
Passo 5
Valores nos pontos críticos (para dar o valor do mínimo):
Calcule e
:
Calcule
Portanto ambos os pontos críticos têm valor
.
Além disso, um comentário de sensação global:
(devido a
) e
(devido ao
). Como nos extremos do domínio a função tende a
e os únicos pontos onde a derivada zera são
com valores finitos, esses mínimos são, na verdade, mínimos globais. (Opcional: pode-se também usar a desigualdade AM–GM para ver diretamente que
, com igualdade quando
, i.e.
.)
Resposta
Pontos de mínimo relativo (e global):
e
, com
.
Não existem pontos de máximo relativo.
Não existem pontos de máximo relativo.