Encontre os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existerem) da função f dada por:
f(x)=x^{3}-\frac{3}{2} x^{2}-6 x+2

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}-6x+2
e pede para encontrar os pontos de máximos e mínimos relativos, se existirem.
Informações importantes fornecidas:
  • A função é um polinômio de grau 3 com coeficientes explícitos.
  • Procura-se os extremos relativos (máximos e mínimos locais), isto é, pontos onde a função muda de crescente para decrescente (máximo) ou de decrescente para crescente (mínimo).

Passo 2

Conceito chave (explicação didática): extremos relativos ocorrem em pontos críticos, que são pontos onde a derivada da função é 0 ou não está definida. Como f é um polinômio, a derivada existe para todo x, então procuramos pontos onde f'(x)=0.
Regra usada (regra do poder para derivação): se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}. Aplicando termo a termo para polinômios, derivamos cada monômio.
Calculemos f'(x) passo a passo:
f(x)=x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}-6x+2
Derivando termo a termo,
f'(x)=3x^{2}-3x-6.
(Detalhe: a derivada de x^{3} é 3x^{2}; a derivada de -\tfrac{3}{2}x^{2} é -3x; a derivada de -6x é -6; a derivada de 2 é 0.)

Passo 3

Encontrar pontos críticos: resolver f'(x)=0.
Escrevemos
f'(x)=3x^{2}-3x-6=0.
Colocando fator comum 3:
3(x^{2}-x-2)=0
Logo precisamos resolver
x^{2}-x-2=0.
Fatorando o trinômio (procurando dois números que multiplicam -2 e somam -1): esses números são -2 e +1. Assim
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Portanto as raízes são
x=2\quad\text{e}\quad x=-1.
Estes são os pontos críticos.

Passo 4

Método de classificação (segunda derivada): para classificar cada ponto crítico usamos a segunda derivada f''(x).
Derivando f'(x)=3x^{2}-3x-6, obtemos
f''(x)=6x-3.
A regra da segunda derivada diz:
  • se f''(x_0)>0 então f é côncava para cima em x_0 e há um mínimo relativo em x_0;
  • se f''(x_0)<0 então f é côncava para baixo em x_0 e há um máximo relativo em x_0;
  • se f''(x_0)=0 o teste é inconclusivo (seria preciso usar outro método).
Avaliemos f'' nos pontos críticos.
Para x=2:
f''(2)=6\cdot 2-3=12-3=9>0,
logo f tem um mínimo relativo em x=2.
Para x=-1:
f''(-1)=6\cdot(-1)-3=-6-3=-9<0,
logo f tem um máximo relativo em x=-1.

Passo 5

Verificação alternativa (teste do sinal de f') — útil para entender comportamento:
  • Para x<-1 (por exemplo x=-2) f'(-2)=3\cdot4-3\cdot(-2)-6=12+6-6=12>0: função crescente à esquerda de -1.
  • Para -1<x<2 (por exemplo x=0) f'(0)=-6<0: função decrescente entre -1 e 2.
  • Para x>2 (por exemplo x=3) f'(3)=3\cdot9-3\cdot3-6=27-9-6=12>0: função crescente à direita de 2.
Isso confirma: em x=-1 a função passa de crescente para decrescente (máximo) e em x=2 passa de decrescente para crescente (mínimo).

Passo 6

Calcular os valores de f nesses pontos (para dar as coordenadas completas dos extremos).
Calcule f(2):
f(2)=2^{3}-\frac{3}{2}\cdot 2^{2}-6\cdot 2+2.
Passo a passo:
2^{3}=8,\quad 2^{2}=4,\quad \frac{3}{2}\cdot 4=6,\quad 6\cdot 2=12.
Então
f(2)=8-6-12+2=8-6=2,\quad 2-12=-10,\quad -10+2=-8.
Portanto f(2)=-8.
Calcule f(-1):
f(-1)=(-1)^{3}-\frac{3}{2}\cdot(-1)^{2}-6\cdot(-1)+2.
Passo a passo:
(-1)^{3}=-1,\quad (-1)^{2}=1,\quad \frac{3}{2}\cdot 1=\frac{3}{2},\quad -6\cdot(-1)=6.
Então
f(-1)=-1-\frac{3}{2}+6+2.
Somando:
-1-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2},\quad -\frac{5}{2}+6=\frac{7}{2},\quad \frac{7}{2}+2=\frac{7}{2}+\frac{4}{2}=\frac{11}{2}.
Portanto f(-1)=\tfrac{11}{2}.

Passo 7

Conclusão (interpretando resultados):
  • Há um máximo relativo em x=-1 com valor f(-1)=\tfrac{11}{2}.
  • Há um mínimo relativo em x=2 com valor f(2)=-8.
Força aí — já está pronto para a prova: derive, ache os críticos, use a segunda derivada e, se quiser, confira com o teste do sinal da primeira derivada. Você consegue!

Resposta

Máximo relativo em x=-1 com f(-1)=\dfrac{11}{2}.
Mínimo relativo em x=2 com f(2)=-8.

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