Encontre os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existerem) da função
dada por:
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para encontrar os pontos de máximos e mínimos relativos, se existirem.
Informações importantes fornecidas:
- A função é um polinômio de grau
com coeficientes explícitos. - Procura-se os extremos relativos (máximos e mínimos locais), isto é, pontos onde a função muda de crescente para decrescente (máximo) ou de decrescente para crescente (mínimo).
Passo 2
Conceito chave (explicação didática): extremos relativos ocorrem em pontos críticos, que são pontos onde a derivada da função é
ou não está definida. Como
é um polinômio, a derivada existe para todo
, então procuramos pontos onde
.
Regra usada (regra do poder para derivação): se
então
. Aplicando termo a termo para polinômios, derivamos cada monômio.
Calculemos
passo a passo:
Derivando termo a termo,
(Detalhe: a derivada de
é
; a derivada de
é
; a derivada de
é
; a derivada de
é
.)
Passo 3
Encontrar pontos críticos: resolver
.
Escrevemos
Escrevemos
Colocando fator comum
:
Logo precisamos resolver
Fatorando o trinômio (procurando dois números que multiplicam
e somam
): esses números são
e
. Assim
Portanto as raízes são
Estes são os pontos críticos.
Passo 4
Método de classificação (segunda derivada): para classificar cada ponto crítico usamos a segunda derivada
.
Derivando , obtemos
Derivando
A regra da segunda derivada diz:
- se
então é côncava para cima em e há um mínimo relativo em ; - se
então é côncava para baixo em e há um máximo relativo em ; - se
o teste é inconclusivo (seria preciso usar outro método).
Avaliemos
nos pontos críticos.
Para
:
logo
tem um mínimo relativo em
.
Para
:
logo
tem um máximo relativo em
.
Passo 5
Verificação alternativa (teste do sinal de
) — útil para entender comportamento:
- Para
(por exemplo ) : função crescente à esquerda de . - Para
(por exemplo ) : função decrescente entre e . - Para
(por exemplo ) : função crescente à direita de .
Isso confirma: em
a função passa de crescente para decrescente (máximo) e em
passa de decrescente para crescente (mínimo).
Passo 6
Calcular os valores de
nesses pontos (para dar as coordenadas completas dos extremos).
Calcule
:
Passo a passo:
Então
Portanto
.
Calcule
:
Passo a passo:
Então
Somando:
Portanto
.
Passo 7
Conclusão (interpretando resultados):
- Há um máximo relativo em
com valor . - Há um mínimo relativo em
com valor .
Força aí — já está pronto para a prova: derive, ache os críticos, use a segunda derivada e, se quiser, confira com o teste do sinal da primeira derivada. Você consegue!
Resposta
Máximo relativo em
com
.
Mínimo relativo em com
.
Mínimo relativo em