Encontre os pontos onde a curva
de equações paramétricas
tem reta tangente horizontal.
Passo 1
Então, a gente tem uma curva definida por equações paramétricas: $ x(t) = 10 - t^2 $ e $ y(t) = t^3 - 12t $. O objetivo é encontrar os pontos onde essa curva tem uma reta tangente horizontal. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e entender como calcular a inclinação da reta tangente em curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em curvas paramétricas, a inclinação da reta tangente é dada por $ \frac{dy}{dx} $. Para encontrar isso, usamos as derivadas em relação a $ t $:
Então, precisamos calcular $ \frac{dy}{dt} $ e $ \frac{dx}{dt} $.
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $:
Passo 4
Para que a reta tangente seja horizontal, a inclinação $ \frac{dy}{dx} $ deve ser igual a zero. Isso acontece quando o numerador $ \frac{dy}{dt} $ é zero, desde que $ \frac{dx}{dt} $ não seja zero. Então, vamos resolver:
Passo 5
Agora que temos os valores de $ t $ onde a reta tangente é horizontal, vamos achar as coordenadas $ (x, y) $ correspondentes substituindo $ t = 2 $ e $ t = -2 $ nas equações paramétricas:
Para $ t = 2 $:
Para $ t = 2 $:
Para $ t = -2 $:
Resposta
A curva $ \mathcal{C} $ tem retas tangentes horizontais nos pontos $ (6, -16) $ e $ (6, 16) $.