Encontre os pontos onde a curva C de equações paramétricas lx(t)=10-t^2 y(t)=t^3-12 t, t in R tem reta tangente horizontal.

Passo 1

Então, a gente tem uma curva definida por equações paramétricas: $ x(t) = 10 - t^2 $ e $ y(t) = t^3 - 12t $. O objetivo é encontrar os pontos onde essa curva tem uma reta tangente horizontal. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e entender como calcular a inclinação da reta tangente em curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em curvas paramétricas, a inclinação da reta tangente é dada por $ \frac{dy}{dx} $. Para encontrar isso, usamos as derivadas em relação a $ t $:
dydx
Então, precisamos calcular $ \frac{dy}{dt} $ e $ \frac{dx}{dt} $.

Passo 3

Vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $:
dxdt
dydt

Passo 4

Para que a reta tangente seja horizontal, a inclinação $ \frac{dy}{dx} $ deve ser igual a zero. Isso acontece quando o numerador $ \frac{dy}{dt} $ é zero, desde que $ \frac{dx}{dt} $ não seja zero. Então, vamos resolver:
dydx
dydt
dxdt
3t^2 - 12 = 0

Passo 5

Agora que temos os valores de $ t $ onde a reta tangente é horizontal, vamos achar as coordenadas $ (x, y) $ correspondentes substituindo $ t = 2 $ e $ t = -2 $ nas equações paramétricas:
Para $ t = 2 $:
t
(x, y)
Para $ t = -2 $:
t = 2
t = -2

Resposta

A curva $ \mathcal{C} $ tem retas tangentes horizontais nos pontos $ (6, -16) $ e $ (6, 16) $.

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