Dois carros se movem no plano e suas trajetórias são descritas através das equações lx1(t)=3 sin t y1(t)=2 cos t elx2(t)=3+cos t y2(t)=1+sin t, t >= 0, respectivamente. Pede-se:
Existem pontos de interseção na trajetória dos carros? Se sim, quais?

Passo 1

O enunciado dá as trajetórias paramétricas de dois carros no plano: o primeiro com
x1(t)=3sin t e y1(t)=2cos t, e o segundo com x2(t)=3+cos t e y2(t)=1+sin t, para t>=0. O conteúdo aqui é interseção de curvas paramétricas, e vamos precisar igualar (x1,y1)=(x2,y2).

Passo 2

Vamos impor as condições de interseção:
3sin t=3+cos t
e
2cos t=1+sin t
Definimos s=sin t e c=cos t para transformar esse sistema em equações lineares.

Passo 3

Da primeira equação temos:
3s - c = 3 implies c = 3s - 3

Passo 4

Substituindo c=3s-3 na segunda equação:
2(3s-3)-s = 1 implies 6s-6 - s = 1 implies 5s = 7 implies s = 75 = 1,4

Passo 5

Como s=sin t precisa satisfazer -1<= s<=1, o valor s=1,4 é impossível. Isso mostra que não há (s,c) reais que satisfaçam o sistema e a identidade s^2+c^2=1.

Passo 6

Logo não existe nenhum t>=0 que faça as posições coincidirem; não há pontos de interseção entre as trajetórias.

Resposta

Não existem pontos de interseção nas trajetórias dos carros.

Exercícios relacionados