Uma superfície regular é uma aplicação varphi: U longrightarrow R^3, onde U subset R^2 aberto tal que:
  • varphi é diferenciável;
  • varphi é um homeomorfismo, isto é, varphi é um bijeção contínua com inversa contínua;
  • Para todo q in U, d varphiq: R^2 longrightarrow R^3 é injetiva.
    O seguinte resultado nos diz que o gráfico de uma função diferencíavel é uma superfície regular.
    Proposição 1 Se f(u, v) é uma função diferenciável, onde (u, v) in R^2, então a aplicação varphi(u, v)=(u, v, f(u, v)) é uma superfície regular, que descreve o gráfico da função f.
    Proposição 2 Seja varphi(u, v) uma superfície regular. Para cada q in U, temos
K(q)=e g-f^2E G-F^2
e
H(q)=12 e G-2 f F+g EE G-F^2
onde E=lang<=varphiu, varphiurang<=, F=lang<=varphiu, varphivrang<=, G=lang<=varphiv, varphivrang<=, e=lang<= N, varphiu urang<=, f=lang<= N, varphiv urang<=, g=lang<= N, varphiv vrang<=, com N=varphiu times varphiv|varphiu times varphiv|.
Temos que K é dita a curvatura Gaussiana e H é dita a curvatura média de uma superfície regular.
Prove que o helicoide
varphi(u, v)=(v cos u, v sen u, b u)
b>0, possui curvatura média H equiv 0 cuja curvatura Gaussiana K satisfaz a relação -1b^2 <= K<0.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar que o helicoide varphi(u,v)=(vcos u,,vsin u,,b u), b>0, é uma superfície com curvatura média Hequiv0 e curvatura Gaussiana negativa satisfazendo -1/b^2<= K<0. Para isso, vamos usar as fórmulas das primeiras e segundas formas fundamentais e as expressões de H e K.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de varphi:
varphiu=(-vsin u,,vcos u,,b),
varphiv=(cos u,,sin u,,0)

Passo 3

Encontrar os coeficientes da primeira forma fundamental:
E=lang<=varphiu,varphiurang<==v^2+b^2,
F=lang<=varphiu,varphivrang<==0,
G=lang<=varphiv,varphivrang<==1

Passo 4

Obter o vetor normal unitário N: primeiro o produto vetorial
varphiutimesvarphiv=(-bsin u,,bcos u,,-v),
e depois
N=varphiutimesvarphiv|varphiutimesvarphiv| =(-bsin u,,bcos u,,-v)raizb^2+v^2

Passo 5

Calcular as derivadas segundas e os coeficientes da segunda forma fundamental:
varphiuu=(-vcos u,,-vsin u,,0),
varphiuv=(-sin u,,cos u,,0),
varphivv=(0,,0,,0)
Então
e=lang<= N,varphiuurang<==0,
f=lang<= N,varphiuvrang<== braizv^2+b^2,
g=lang<= N,varphivvrang<==0

Passo 6

Mostrar que a curvatura média H se anula:
H=12eG-2fF+gEEG-F^2 =120cdot1-2,fcdot0+0cdot(v^2+b^2)(v^2+b^2)cdot1-0=0

Passo 7

Encontrar a curvatura Gaussiana K e seus limites:
K=eg-f^2EG-F^2 =0-l(braizv^2+b^2r)^2(v^2+b^2)cdot1 =-b^2(v^2+b^2)^2
Como v^2+b^2>= b^2, segue
-1b^2= -b^2(b^2)^2<= K<0

Resposta

A superfície helicoide tem curvatura média Hequiv0 e curvatura Gaussiana K=-dfracb^2(v^2+b^2)^2, que satisfaz -1/b^2<= K<0.

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