Uma superfície regular é uma aplicação
, onde
aberto tal que:
-
é diferenciável;
-
é um homeomorfismo, isto é,
é um bijeção contínua com inversa contínua;
- Para todo
é injetiva.
O seguinte resultado nos diz que o gráfico de uma função diferencíavel é uma superfície regular.
Proposição 1 Se
é uma função diferenciável, onde
, então a aplicação
é uma superfície regular, que descreve o gráfico da função
.
Proposição 2 Seja
uma superfície regular. Para cada
, temos
onde
, com
.
Temos que
é dita a curvatura Gaussiana e
é dita a curvatura média de uma superfície regular.
Prove que o helicoide
, possui curvatura média
cuja curvatura Gaussiana
satisfaz a relação
.
O seguinte resultado nos diz que o gráfico de uma função diferencíavel é uma superfície regular.
Proposição 1 Se
Proposição 2 Seja
Temos que
Prove que o helicoide
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos mostrar que o helicoide
,
, é uma superfície com curvatura média
e curvatura Gaussiana negativa satisfazendo
. Para isso, vamos usar as fórmulas das primeiras e segundas formas fundamentais e as expressões de
e
.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
:
Passo 3
Encontrar os coeficientes da primeira forma fundamental:
Passo 4
Obter o vetor normal unitário
: primeiro o produto vetorial
e depois
Passo 5
Calcular as derivadas segundas e os coeficientes da segunda forma fundamental:
Então
Passo 6
Mostrar que a curvatura média
se anula:
Passo 7
Encontrar a curvatura Gaussiana
e seus limites:
Como
, segue
Resposta
A superfície helicoide tem curvatura média
e curvatura Gaussiana
, que satisfaz
.