Encontre os pontos onde exista a tangente horizontal da função \cos 2 x+2 \cos x.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\cos 2x+2\cos x e pede os pontos onde existe tangente horizontal.
Informações relevantes:
  • A função é f(x)=\cos 2x+2\cos x.
  • “Tangente horizontal” significa que a derivada é zero naquele ponto.
    A tarefa é, portanto, achar todos os x tais que f'(x)=0 e, se pedido, dar os pontos (x,f(x)).

Passo 2

Regra que vamos usar (derivada):
  • A derivada de \cos(ax) em relação a x é -a\sin(ax).
  • A derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante vezes a derivada da função.
Aplicando isso à função dada:
f(x)=\cos 2x+2\cos x
Derivando termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}(\cos 2x)+\frac{d}{dx}(2\cos x)
f'(x)=-2\sin 2x - 2\sin x.
Explicando cada parte: na primeira parcela apareceu o fator -2 porque a derivada de \cos 2x é -\sin 2x vezes a derivada interna 2; na segunda parcela o 2 sai como fator multiplicativo.

Passo 3

Condição de tangente horizontal: igualar a derivada a zero.
-2\sin 2x - 2\sin x = 0.
Podemos dividir ambos os lados por -2 sem alterar as soluções:
\sin 2x + \sin x = 0.
Usamos a identidade trigonométrica \sin 2x = 2\sin x\cos x. Substituindo:
2\sin x\cos x + \sin x = 0.
Fatorando \sin x:
\sin x\,(2\cos x + 1)=0.
Uma propriedade básica de álgebra: um produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. Assim, temos duas possibilidades:
  1. \sin x = 0.
  2. 2\cos x + 1 = 0.

Passo 4

Resolver \sin x = 0.
Conhecimento necessário: \sin x = 0 quando x é múltiplo inteiro de \pi. Logo
x = k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Agora, para cada x=k\pi podemos calcular o valor da função (para dar o ponto (x,f(x))):
f(k\pi)=\cos(2k\pi)+2\cos(k\pi)=1+2(-1)^k.
Explicando: \cos(2k\pi)=1 e \cos(k\pi)=(-1)^k. Assim:
  • Se k é par ( k=2m) então f(k\pi)=1+2\cdot 1=3, ou seja pontos (2m\pi,3).
  • Se k é ímpar ( k=2m+1) então f(k\pi)=1+2\cdot(-1)= -1, ou seja pontos ((2m+1)\pi,-1).

Passo 5

Resolver 2\cos x + 1 = 0, isto é \cos x = -\tfrac{1}{2}.
Conhecimento necessário: equação \cos x = a tem solução geral x = \pm \operatorname{arccos}(a) + 2\pi k. Para a=-\tfrac{1}{2} sabemos os ângulos notáveis no círculo trigonométrico:
\cos x = -\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \quad\text{ou}\quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
(Alternativamente, escrever x=\pm \tfrac{2\pi}{3}+2\pi k.)
Calcular f(x) nesses valores para obter os pontos:
  • Tome x=\tfrac{2\pi}{3}+2\pi k. Então \cos x=-\tfrac{1}{2},\qquad \cos 2x=\cos\!\big(2\cdot\tfrac{2\pi}{3}+4\pi k\big)=\cos\!\big(\tfrac{4\pi}{3}\big)=-\tfrac{1}{2}.Logo f\!\Big(\tfrac{2\pi}{3}+2\pi k\Big)=-\tfrac{1}{2}+2\Big(-\tfrac{1}{2}\Big)=-\tfrac{3}{2}.
  • Para x=\tfrac{4\pi}{3}+2\pi k obtemos o mesmo valor, porque \cos\!\big(\tfrac{4\pi}{3}\big)=-\tfrac{1}{2} e \cos(2x)=\cos\!\big(\tfrac{8\pi}{3}\big)=\cos\!\big(\tfrac{2\pi}{3}\big)=-\tfrac{1}{2}. Assim f\!\Big(\tfrac{4\pi}{3}+2\pi k\Big)=-\tfrac{3}{2}.
Portanto todos esses x geram pontos com ordenada -\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Juntando as famílias de soluções temos as seguintes famílias de pontos onde a tangente é horizontal:
  • para \sin x=0: \big(k\pi,\;1+2(-1)^k\big), k\in\mathbb{Z} (ou escrito em forma separada: (2m\pi,3) e ((2m+1)\pi,-1));
  • para \cos x=-\tfrac{1}{2}: \Big(\tfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\; -\tfrac{3}{2}\Big) e \Big(\tfrac{4\pi}{3}+2\pi k,\; -\tfrac{3}{2}\Big), k\in\mathbb{Z}.
Está tudo feito — respira fundo, você já tem as três famílias de pontos onde a derivada some e, portanto, onde a tangente é horizontal.

Resposta

\big(k\pi,\;1+2(-1)^k\big),\\ k\in\mathbb{Z}\n \displaystyle\Big(\tfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\;-\tfrac{3}{2}\Big),\\ k\in\mathbb{Z}\n \displaystyle\Big(\tfrac{4\pi}{3}+2\pi k,\;-\tfrac{3}{2}\Big),\\ k\in\mathbb{Z}

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