Encontre os pontos onde exista a tangente horizontal da função
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os pontos onde existe tangente horizontal.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é
. - “Tangente horizontal” significa que a derivada é zero naquele ponto.
A tarefa é, portanto, achar todos ostais que e, se pedido, dar os pontos .
Passo 2
Regra que vamos usar (derivada):
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante vezes a derivada da função.
Aplicando isso à função dada:
Derivando termo a termo:
Explicando cada parte: na primeira parcela apareceu o fator
porque a derivada de
é
vezes a derivada interna
; na segunda parcela o
sai como fator multiplicativo.
Passo 3
Condição de tangente horizontal: igualar a derivada a zero.
Podemos dividir ambos os lados por
sem alterar as soluções:
Usamos a identidade trigonométrica
. Substituindo:
Fatorando
:
Uma propriedade básica de álgebra: um produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. Assim, temos duas possibilidades:
-
. -
.
Passo 4
Resolver
.
Conhecimento necessário:
quando
é múltiplo inteiro de
. Logo
Agora, para cada
podemos calcular o valor da função (para dar o ponto
):
Explicando:
e
. Assim:
- Se
é par ( ) então , ou seja pontos . - Se
é ímpar ( ) então , ou seja pontos .
Passo 5
Resolver
, isto é
.
Conhecimento necessário: equação
tem solução geral
. Para
sabemos os ângulos notáveis no círculo trigonométrico:
(Alternativamente, escrever
.)
Calcular
nesses valores para obter os pontos:
- Tome
. Então Logo - Para
obtemos o mesmo valor, porque e . Assim
Portanto todos esses
geram pontos com ordenada
.
Passo 6
Juntando as famílias de soluções temos as seguintes famílias de pontos onde a tangente é horizontal:
- para
: , (ou escrito em forma separada: e ); - para
: e , .
Está tudo feito — respira fundo, você já tem as três famílias de pontos onde a derivada some e, portanto, onde a tangente é horizontal.