Encontre os pontos (isto é, os valores da variável) de máximo e de mínimo absoluto (global) da função g(t)=3-2 tt^2+4 restrita ao intervalo [0,6].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo absoluto da função $ g(t) = \frac{3 - 2t}{t^{2} + 4} $ no intervalo de $ t $ de 0 a 6. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar extremos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para achar os pontos de máximo e mínimo de uma função em um intervalo fechado, a gente precisa verificar:
  1. Os valores nos extremos do intervalo (neste caso, $ t = 0 $ e $ t = 6 $).
  2. Os valores onde a derivada da função é zero ou não existe (chamados de pontos críticos).

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada da função $ g(t) $. A derivada nos ajuda a encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, e onde ela atinge picos ou vales.
A função é $ g(t) = \frac{3 - 2t}{t^{2} + 4} $.
Para derivar essa função, vamos usar a Regra do Quociente, que diz:
g(t)
Aqui, $ u = 3 - 2t $ e $ v = t^{2} + 4 $.

Passo 4

Calculando as derivadas de $ u $ e $ v $:
u
v
Agora, aplicando a Regra do Quociente:
u' = ddt(3 - 2t) = -2
Vamos simplificar o numerador:
v' = ddt(t^2 + 4) = 2t
Então,
g'(t) = (-2)(t^2 + 4) - (3 - 2t)(2t)(t^2 + 4)^2

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, vamos igualar a derivada a zero:
2t^2 - 6t - 8 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática. Primeiro, simplificamos dividindo todos os termos por 2:
t^2 - 3t - 4 = 0
Agora, aplicando a fórmula de Bhaskara:
t = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm raiz252 = 3 pm 52
Então, temos duas soluções:
t = 3 + 52 = 4 e t = 3 - 52 = -1
Como estamos considerando o intervalo de 0 a 6, descartamos $ t = -1 $.
Então, o ponto crítico dentro do intervalo é $ t = 4 $.

Passo 6

Agora, vamos avaliar a função $ g(t) $ nos pontos críticos e nos extremos do intervalo:
  1. $ t = 0 $:
g(t)
  1. $ t = 4 $:
t = 0
  1. $ t = 6 $:
g(0) = 3 - 2(0)0^2 + 4 = 34 = 0,75

Resposta

Assim, no intervalo [0, 6], a função $ g(t) $ atinge seu máximo absoluto em $ t = 0 $ com valor $ g(0) = 0,75 $ e seu mínimo absoluto em $ t = 4 $ com valor $ g(4) = -0,25 $.

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