Encontre os pontos (isto é, os valores da variável) de máximo e de mínimo absoluto (global) da função
restrita ao intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo absoluto da função $ g(t) = \frac{3 - 2t}{t^{2} + 4} $ no intervalo de $ t $ de 0 a 6. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar extremos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para achar os pontos de máximo e mínimo de uma função em um intervalo fechado, a gente precisa verificar:
- Os valores nos extremos do intervalo (neste caso, $ t = 0 $ e $ t = 6 $).
- Os valores onde a derivada da função é zero ou não existe (chamados de pontos críticos).
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada da função $ g(t) $. A derivada nos ajuda a encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, e onde ela atinge picos ou vales.
A função é $ g(t) = \frac{3 - 2t}{t^{2} + 4} $.
Para derivar essa função, vamos usar a Regra do Quociente, que diz:
Aqui, $ u = 3 - 2t $ e $ v = t^{2} + 4 $.
Passo 4
Calculando as derivadas de $ u $ e $ v $:
Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então,
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, vamos igualar a derivada a zero:
Vamos resolver essa equação quadrática. Primeiro, simplificamos dividindo todos os termos por 2:
Agora, aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Como estamos considerando o intervalo de 0 a 6, descartamos $ t = -1 $.
Então, o ponto crítico dentro do intervalo é $ t = 4 $.
Passo 6
Agora, vamos avaliar a função $ g(t) $ nos pontos críticos e nos extremos do intervalo:
- $ t = 0 $:
- $ t = 4 $:
- $ t = 6 $:
Resposta
Assim, no intervalo [0, 6], a função $ g(t) $ atinge seu máximo absoluto em $ t = 0 $ com valor $ g(0) = 0,75 $ e seu mínimo absoluto em $ t = 4 $ com valor $ g(4) = -0,25 $.