Dados os polinômios P(x)=8 x^5-5 x^4+7 x^3-3 x+4 e Q(x)=4 x^2-5, determine: P(x)x+2
12) Seja o polinômio P(x)=2 x^2-3 x+5. Determine os seguintes polinômios:
a) P(x+1)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro dividir o polinômio P(x)=8x^5-5x^4+7x^3-3x+4 pelo binômio x+2 (ou seja, encontrar quociente e resto) — isso cai em conteúdo de divisão de polinômios por fator linear. Em seguida, temos outro polinômio P(x)=2x^2-3x+5 e queremos calcular P(x+1), que é um caso de composição de polinômios.

Passo 2

Para a divisão de P(x)=8x^5-5x^4+7x^3+0x^2-3x+4 por x+2, usamos divisão sintética com c=-2. Colocamos os coeficientes
8,,-5,,7,,0,,-3,,4
e procedemos assim: trazemos o 8; em seguida
-2cdot8=-16, somamos a -5+(-16)=-21;
-2cdot(-21)=42, somamos a 7+42=49;
-2cdot49=-98, somamos a 0+(-98)=-98;
-2cdot(-98)=196, somamos a -3+196=193;
-2cdot193=-386, somamos a 4+(-386)=-382.
Os coeficientes do quociente são 8, -21, 49, -98, 193 e o resto é -382. Assim
P(x)=(x+2)l(8x^4 -21x^3 +49x^2 -98x +193r) -382

Passo 3

Para o segundo item, queremos P(x+1) com P(t)=2t^2-3t+5. Basta substituir t=x+1:
P(x+1)=2(x+1)^2 -3(x+1) +5

Passo 4

Expandindo e simplificando:
2(x^2+2x+1)-3x-3+5 = 2x^2+4x+2 -3x +2 = 2x^2 + x +4

Resposta

a) P(x)x+2 = 8x^4 - 21x^3 + 49x^2 - 98x + 193 - 382x+2
b) P(x+1)=2x^2 + x + 4

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