Seja
.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto com abscissa 0.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = \sqrt{e^{4x} + 8} $ e precisamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto onde a abscissa (valor de $ x $) é 0. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos permitem encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
O primeiro passo para encontrar a reta tangente é calcular o valor da função no ponto $ x = 0 $. Vamos substituir $ x $ por 0 na função:
Então, o ponto de tangência é $ (0, 3) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $ para determinar a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 0 $. Lembre-se que a derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $.
A função é $ f(x) = \sqrt{e^{4x} + 8} $. Vamos reescrevê-la para facilitar a derivação:
Usaremos a regra da cadeia para derivar essa função.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia, temos:
Calculando a derivada interna:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ f’(0) $, a derivada no ponto $ x = 0 $, para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 0 $ é $ \frac{2}{3} $.
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de $ f $ no ponto com abscissa 0 é: