Seja f(x)=raize^4 x+8.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto com abscissa 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = \sqrt{e^{4x} + 8} $ e precisamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto onde a abscissa (valor de $ x $) é 0. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos permitem encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

O primeiro passo para encontrar a reta tangente é calcular o valor da função no ponto $ x = 0 $. Vamos substituir $ x $ por 0 na função:
x = 0
Então, o ponto de tangência é $ (0, 3) $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $ para determinar a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 0 $. Lembre-se que a derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $.
A função é $ f(x) = \sqrt{e^{4x} + 8} $. Vamos reescrevê-la para facilitar a derivação:
f(x)
Usaremos a regra da cadeia para derivar essa função.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, temos:
f'(x) = 12 (e^4x + 8)^-12 cdot ddx(e^4x + 8)
Calculando a derivada interna:
ddx(e^4x + 8) = 4e^4x
Então, substituindo de volta:
f'(x) = 12 (e^4x + 8)^-12 cdot 4e^4x = 2e^4x (e^4x + 8)^-12

Passo 5

Agora, vamos calcular $ f’(0) $, a derivada no ponto $ x = 0 $, para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
f'(0)
Então, a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 0 $ é $ \frac{2}{3} $.

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de $ f $ no ponto com abscissa 0 é:
f

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