Encontre os possíveis valores para os digitos
e
de forma que o número
seja divisível por 9 e por 11.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os dígitos $ a $ e $ b $ de tal forma que o número $ n = 176a21b21 $ seja divisível por 9 e por 11. Para resolver isso, vamos usar as regras de divisibilidade por 9 e por 11.
Passo 2
Primeiro, para um número ser divisível por 9, a soma de todos os seus dígitos precisa ser múltiplo de 9. Então, vamos somar os dígitos conhecidos:
Queremos que $ 20 + a + b $ seja divisível por 9.
Passo 3
Agora, para um número ser divisível por 11, a diferença entre a soma dos dígitos das posições ímpares e a soma dos dígitos das posições pares deve ser múltipla de 11. Vamos identificar essas somas:
Posições ímpares: 1ª, 3ª, 5ª, 7ª, 9ª
Posições pares: 2ª, 4ª, 6ª, 8ª
A diferença é $ (10 + b) - (10 + a) = b - a $. Para ser divisível por 11, $ b - a $ deve ser múltiplo de 11, ou seja, $ b = a $.
Passo 4
Voltando à condição da divisibilidade por 9, já sabemos que $ a = b $. Então, substituímos:
Queremos que $ 20 + 2a $ seja múltiplo de 9. Isso significa que:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar $ a $, precisamos resolver $ 2a \equiv 7 \ (mod \ 9) $. Multiplicamos ambos os lados por 5, que é o inverso de 2 modulo 9:
Como $ a $ é um dígito (0 a 9), a única solução válida é $ a = 8 $.
Resposta
Os possíveis valores são $ a = 8 $ e $ b = 8 $.