Encontre os possíveis valores para os digitos a e b de forma que o número
n=176 a 21 b 21
seja divisível por 9 e por 11.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os dígitos $ a $ e $ b $ de tal forma que o número $ n = 176a21b21 $ seja divisível por 9 e por 11. Para resolver isso, vamos usar as regras de divisibilidade por 9 e por 11.

Passo 2

Primeiro, para um número ser divisível por 9, a soma de todos os seus dígitos precisa ser múltiplo de 9. Então, vamos somar os dígitos conhecidos:
1 + 7 + 6 + a + 2 + 1 + b + 2 + 1 = 20 + a + b
Queremos que $ 20 + a + b $ seja divisível por 9.

Passo 3

Agora, para um número ser divisível por 11, a diferença entre a soma dos dígitos das posições ímpares e a soma dos dígitos das posições pares deve ser múltipla de 11. Vamos identificar essas somas:
Posições ímpares: 1ª, 3ª, 5ª, 7ª, 9ª
1 + 6 + 2 + b + 1 = 10 + b
Posições pares: 2ª, 4ª, 6ª, 8ª
7 + a + 1 + 2 = 10 + a
A diferença é $ (10 + b) - (10 + a) = b - a $. Para ser divisível por 11, $ b - a $ deve ser múltiplo de 11, ou seja, $ b = a $.

Passo 4

Voltando à condição da divisibilidade por 9, já sabemos que $ a = b $. Então, substituímos:
a = b
Queremos que $ 20 + 2a $ seja múltiplo de 9. Isso significa que:
20 + a + a = 20 + 2a
Simplificando:
20 + 2a

Passo 5

Para encontrar $ a $, precisamos resolver $ 2a \equiv 7 \ (mod \ 9) $. Multiplicamos ambos os lados por 5, que é o inverso de 2 modulo 9:
a
Como $ a $ é um dígito (0 a 9), a única solução válida é $ a = 8 $.

Resposta

Os possíveis valores são $ a = 8 $ e $ b = 8 $.

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