Dados os inteiros -874 e 551, encontre (usando o Algoritmo de Euclides ou Algoritulo euclidiano estendido) o máximo divisor comum, a expressão do
como combinasio linear desses inteiros e o mínimo múltiplo comum entre eles.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois números inteiros, -874 e 551, e precisa encontrar três coisas: o máximo divisor comum (mdc) deles usando o Algoritmo de Euclides ou o Algoritmo Euclidiano Estendido, a expressão desse mdc como uma combinação linear desses números, e o mínimo múltiplo comum (mmc) entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de teoria dos números, como o mdc, combinação linear e mmc.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o máximo divisor comum (mdc) de -874 e 551 usando o Algoritmo de Euclides. Esse algoritmo serve para encontrar o maior número que divide os dois números sem deixar resto.
Passo 3
O Algoritmo de Euclides funciona assim: a gente divide o número maior pelo menor, pega o resto, e depois repete o processo com o menor e esse resto, até o resto ser zero. O último resto diferente de zero será o mdc.
Vamos começar:
- Ignoramos o sinal, então trabalhamos com 874 e 551.
- Dividimos 874 por 551:
- Agora, dividimos 551 por 323:
- Dividimos 323 por 228:
- Dividimos 228 por 95:
- Dividimos 95 por 38:
- Dividimos 38 por 19:
Quando o resto chega a zero, o último resto diferente de zero foi 19. Então, o mdc de 874 e 551 é 19.
Passo 4
Agora, vamos expressar o mdc como uma combinação linear de -874 e 551. Isso significa que queremos encontrar números inteiros x e y tais que:
Para isso, usamos o Algoritmo Euclidiano Estendido, que nos ajuda a encontrar esses coeficientes x e y.
Vamos voltar nas etapas do Algoritmo de Euclides que fizemos:
- $ 874 = 551 \times 1 + 323 $ → $ 323 = 874 - 551 \times 1 $
- $ 551 = 323 \times 1 + 228 $ → $ 228 = 551 - 323 \times 1 $
- $ 323 = 228 \times 1 + 95 $ → $ 95 = 323 - 228 \times 1 $
- $ 228 = 95 \times 2 + 38 $ → $ 38 = 228 - 95 \times 2 $
- $ 95 = 38 \times 2 + 19 $ → $ 19 = 95 - 38 \times 2 $
Agora, substituímos cada valor anterior:
- Substituindo $ 38 = 228 - 95 \times 2 $ na equação de 19:
- Substituindo $ 95 = 323 - 228 \times 1 $:
- Substituindo $ 228 = 551 - 323 \times 1 $:
- Substituindo $ 323 = 874 - 551 \times 1 $:
Então, a combinação linear é:
Mas lembrando que originalmente tínhamos -874, então podemos ajustar os sinais:
Passo 5
Por fim, vamos encontrar o mínimo múltiplo comum (mmc) entre -874 e 551. O mmc é o menor número positivo que é múltiplo de ambos os números.
A fórmula para o mmc em termos do mdc é:
Vamos aplicar:
Calculando o numerador:
Agora, dividimos pelo mdc:
Mas como o mmc deve ser um número inteiro, precisamos confirmar o cálculo:
Na verdade, o correto é:
Dividindo por 19:
Parece que houve um erro nesse cálculo. Vamos refazer:
Mas isso também não parece correto. A forma correta de calcular é:
Portanto, o mmc de -874 e 551 é 25,340.
Resposta
O máximo divisor comum (mdc) de -874 e 551 é 19. A expressão do mdc como combinação linear é
. O mínimo múltiplo comum (mmc) entre -874 e 551 é 25,340.