1. lim (x, y) (0,0) y ln (x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o limite de $ y \ln(x{2}+y{2}) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $. Isso está relacionado ao estudo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares, que ajudam a simplificar situações com $ x $ e $ y $ indo para zero.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as coordenadas de cartesianas para polares. Nas coordenadas polares, temos:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
E também, $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $. Substituindo isso na nossa expressão original, fica:
x^2 + y^2 = r^2

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Sabemos que $ \ln(r^{2}) = 2 \ln® $, então:
ln(r^2) = 2 ln(r)
Aqui, $ r $ está indo para 0 e $ \ln® $ está indo para $ -\infty $. Mas atenção: o produto $ r \ln® $ tende a zero quando $ r $ tende a zero. Isso porque $ r $ vai pra zero mais rápido do que $ \ln® $ vai para $ -\infty $.

Passo 4

Considerando que $ \sin(\theta) $ está limitado entre -1 e 1, o termo $ 2r \sin(\theta) \ln® $ também tende a zero, já que $ r \ln® $ tende a zero.

Resposta

O limite é 0.

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