Encontre os possíveis valores de
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os inteiros
tais que
.
Informações dadas:
- A expressão cujo máximo divisor comum queremos é
. - O valor exigido para esse
é .
Passo 2
Usar uma propriedade básica de
: para quaisquer inteiros
vale
Explicação simples e prova curta: se
divide
e
, então
também divide
. Assim os divisores comuns de
e
são exatamente os divisores comuns de
e
; portanto o maior divisor comum é o mesmo.
Aplicando aqui com
e
obtemos
Passo 3
Com a igualdade do passo anterior, a condição do enunciado fica equivalente a
Ou seja, precisamos achar todos os inteiros
cujo
com
seja
.
Passo 4
Fatorar
em primos:
Uma regra útil para
: para cada primo
a potência de
que aparece em
é o mínimo entre as potências de
em
e em
. Aplicando isso a
e
(considerando apenas os primos que aparecem em
, isto é
e
):
-
Para
: em a potência é (pois aparece). Para que o mínimo seja (de modo que a contribuição de ao seja ), é necessário que tenha pelo menos fatores ; ou seja, seja divisível por . -
Para
: em a potência é . Para que a contribuição de ao seja (ou seja, que não apareça no ), é necessário que não seja divisível por .
Primos diferentes de
e
não afetam
porque não dividem
.
Passo 5
Resumindo as condições obtidas:
-
deve ser divisível por (para garantir a potência de necessária). -
não deve ser divisível por .
Em termos algébricos: existe
tal que
, e além disso
(porque se
então
e
teria fator
, ficando maior que
).
Passo 6
Verificações rápidas para fixar a ideia:
- Exemplo que funciona:
dá . - Exemplo que funciona:
(pois e ) dá . - Exemplo que não funciona:
(pois e ) dá . - Exemplo que não funciona:
(não é múltiplo de ) dá .