Encontre os possíveis valores de a \in \mathbb{Z} tais que \operatorname{mdc}(20+a, a)=4.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os inteiros a\in\mathbb{Z} tais que \operatorname{mdc}(20+a,a)=4.
Informações dadas:
  • A expressão cujo máximo divisor comum queremos é \operatorname{mdc}(20+a,a).
  • O valor exigido para esse \operatorname{mdc} é 4.

Passo 2

Usar uma propriedade básica de \operatorname{mdc}: para quaisquer inteiros x,y vale
\operatorname{mdc}(x+y,y)=\operatorname{mdc}(x,y).
Explicação simples e prova curta: se d divide y e x+y, então d também divide (x+y)-y=x. Assim os divisores comuns de y e x+y são exatamente os divisores comuns de y e x; portanto o maior divisor comum é o mesmo.
Aplicando aqui com x=20 e y=a obtemos
\operatorname{mdc}(20+a,a)=\operatorname{mdc}(20,a).

Passo 3

Com a igualdade do passo anterior, a condição do enunciado fica equivalente a
\operatorname{mdc}(20,a)=4.
Ou seja, precisamos achar todos os inteiros a cujo \operatorname{mdc} com 20 seja 4.

Passo 4

Fatorar 20 em primos:
20=2^2\cdot5.
Uma regra útil para \operatorname{mdc}: para cada primo p a potência de p que aparece em \operatorname{mdc}(m,n) é o mínimo entre as potências de p em m e em n. Aplicando isso a 20 e a (considerando apenas os primos que aparecem em 20, isto é 2 e 5):
  • Para p=2: em 20 a potência é 2 (pois 2^2 aparece). Para que o mínimo seja 2 (de modo que a contribuição de 2 ao \operatorname{mdc} seja 2^2=4), é necessário que a tenha pelo menos 2 fatores 2; ou seja, a seja divisível por 2^2=4.
  • Para p=5: em 20 a potência é 1. Para que a contribuição de 5 ao \operatorname{mdc} seja 5^0=1 (ou seja, que 5 não apareça no \operatorname{mdc}), é necessário que a não seja divisível por 5.
Primos diferentes de 2 e 5 não afetam \operatorname{mdc}(20,a) porque não dividem 20.

Passo 5

Resumindo as condições obtidas:
  • a deve ser divisível por 4 (para garantir a potência de 2 necessária).
  • a não deve ser divisível por 5.
Em termos algébricos: existe k\in\mathbb{Z} tal que a=4k, e além disso 5\nmid k (porque se 5\mid k então 5\mid a e \operatorname{mdc}(20,a) teria fator 5, ficando maior que 4).

Passo 6

Verificações rápidas para fixar a ideia:
  • Exemplo que funciona: a=4 \operatorname{mdc}(20,4)=4.
  • Exemplo que funciona: a=12 (pois 12=4\cdot3 e 5\nmid3) dá \operatorname{mdc}(20,12)=4.
  • Exemplo que não funciona: a=20 (pois 20=4\cdot5 e 5\mid5) dá \operatorname{mdc}(20,20)=20\neq4.
  • Exemplo que não funciona: a=2 (não é múltiplo de 4) dá \operatorname{mdc}(20,2)=2\neq4.

Resposta

\{\,a\in\mathbb{Z}\mid 4\mid a\\ \text{e}\\\ 5\nmid a\,\}

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