Determine os coeficientes a, b, c e d da função polinomial
f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d,
sabendo que o gráfico passa pelos pontos P_{1}=(0,10), P_{2}=(1,7), P_{3}=(3,-1) \mathrm{e} P_{4}=(4,-14).
Ou seja, satisfaz as condições:
f(0)=10, \quad f(1)=7, \quad f(3)=-1, \quad f(4)=-14 .
Em particular:
7=f(1)=a(1)^{3}+b(1)^{2}+c(1)+d

Passo 1

O enunciado dá uma função polinomial
f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d
e informa que o gráfico passa por quatro pontos: P_{1}=(0,10), P_{2}=(1,7), P_{3}=(3,-1) e P_{4}=(4,-14).
As perguntas implícitas são: determinar os coeficientes a,\\ b,\\ c,\\ d que fazem f passar por esses pontos, isto é, resolver o sistema formado por
f(0)=10,\qquad f(1)=7,\qquad f(3)=-1,\qquad f(4)=-14.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O valor de f em x=0 é 10, logo f(0)=d=10.
  • As demais condições geram equações lineares em a,b,c,d quando substituímos x=1,3,4.

Passo 2

Vamos traduzir cada condição em uma equação, substituindo x na expressão de f(x).
Da condição em P_{1}:
f(0)=d=10.
Da condição em P_{2}:
f(1)=a(1)^{3}+b(1)^{2}+c(1)+d=7,
ou seja,
a+b+c+d=7.
Da condição em P_{3}:
f(3)=a(3)^{3}+b(3)^{2}+c(3)+d=-1,
ou seja,
27a+9b+3c+d=-1.
Da condição em P_{4}:
f(4)=a(4)^{3}+b(4)^{2}+c(4)+d=-14,
ou seja,
64a+16b+4c+d=-14.

Passo 3

Substituímos d=10 (obtido em P_{1}) nas outras três equações para obter um sistema em a,b,c.
Da equação em x=1:
a+b+c+10=7\quad\Rightarrow\quad a+b+c=-3. \tag{1}
Da equação em x=3:
27a+9b+3c+10=-1\quad\Rightarrow\quad 27a+9b+3c=-11. \tag{2}
Da equação em x=4:
64a+16b+4c+10=-14\quad\Rightarrow\quad 64a+16b+4c=-24. \tag{3}
Agora temos o sistema linear em (a,b,c) dado por (1),(2),(3).

Passo 4

Vamos eliminar c combinando (1) com (2) e (3). A técnica é multiplicar (1) por fatores para igualar coeficientes de c e subtrair.
Multiplique (1) por 3:
3a+3b+3c=-9.
Subtraindo isso de (2):
(27a+9b+3c)-(3a+3b+3c) = -11-(-9).
No lado esquerdo os termos em c cancelam, ficando
24a+6b = -2.
Dividindo por 2 para simplificar:
12a+3b=-1. \tag{4}
Multiplique (1) por 4:
4a+4b+4c=-12.
Subtraindo isso de (3):
(64a+16b+4c)-(4a+4b+4c) = -24-(-12).
Cancela-se c novamente e obtém-se
60a+12b = -12.
Dividindo por 12 para simplificar:
5a+b=-1. \tag{5}
Agora temos um sistema em a,b formado por (4) e (5).

Passo 5

Resolvendo o sistema (4) e (5).
De (5) isola-se b:
b=-1-5a.
Substitui-se em (4):
12a+3(-1-5a)=-1.
Desenvolvendo:
12a -3 -15a = -1.
Agrupando a:
-3a -3 = -1.
Isolando a:
-3a = 2 \quad\Rightarrow\quad a = -\frac{2}{3}.

Passo 6

Com a=-\tfrac{2}{3}, calculamos b usando b=-1-5a:
b = -1 -5\left(-\frac{2}{3}\right) = -1 + \frac{10}{3} = \frac{-3+10}{3} = \frac{7}{3}.
Agora encontramos c usando a equação (1): a+b+c=-3.
c = -3 - a - b = -3 -\left(-\frac{2}{3}\right) - \frac{7}{3}.
Colocando tudo com denominador 3:
c = -\frac{9}{3} + \frac{2}{3} - \frac{7}{3} = -\frac{14}{3}.
E já tínhamos d=10.

Passo 7

Verificação rápida (importante em provas): substituir os coeficientes encontrados nas equações originais para garantir que batem.
  • Para x=1: a+b+c+d = -\tfrac{2}{3} + \tfrac{7}{3} -\tfrac{14}{3} + 10 = \tfrac{-2+7-14}{3} + 10 = \tfrac{-9}{3}+10 = -3+10 = 7. Confere.
  • Para x=3: 27a+9b+3c+d = 27\left(-\tfrac{2}{3}\right)+9\left(\tfrac{7}{3}\right)+3\left(-\tfrac{14}{3}\right)+10 = -18+21-14+10 = -1. Confere.
  • Para x=4: 64a+16b+4c+d = 64\left(-\tfrac{2}{3}\right)+16\left(\tfrac{7}{3}\right)+4\left(-\tfrac{14}{3}\right)+10 = -\tfrac{128}{3}+\tfrac{112}{3}-\tfrac{56}{3}+10 = -\tfrac{72}{3}+10 = -24+10 = -14. Confere.
Tudo bate, então os coeficientes estão corretos.

Resposta

a=-\dfrac{2}{3}
b=\dfrac{7}{3}
c=-\dfrac{14}{3}
d=10

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