Determine os coeficientes
e
da função polinomial
sabendo que o gráfico passa pelos pontos
.
Ou seja, satisfaz as condições:
Em particular:
Passo 1
O enunciado dá uma função polinomial
e informa que o gráfico passa por quatro pontos:
e
.
As perguntas implícitas são: determinar os coeficientes
que fazem
passar por esses pontos, isto é, resolver o sistema formado por
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O valor de
em é , logo . - As demais condições geram equações lineares em
quando substituímos .
Passo 2
Vamos traduzir cada condição em uma equação, substituindo
na expressão de
.
Da condição em
:
Da condição em
:
ou seja,
Da condição em
:
ou seja,
Da condição em
:
ou seja,
Passo 3
Substituímos
(obtido em
) nas outras três equações para obter um sistema em
.
Da equação em
:
Da equação em
:
Da equação em
:
Agora temos o sistema linear em
dado por
.
Passo 4
Vamos eliminar
combinando
com
e
. A técnica é multiplicar
por fatores para igualar coeficientes de
e subtrair.
Multiplique
por
:
Subtraindo isso de
:
No lado esquerdo os termos em
cancelam, ficando
Dividindo por
para simplificar:
Multiplique
por
:
Subtraindo isso de
:
Cancela-se
novamente e obtém-se
Dividindo por
para simplificar:
Agora temos um sistema em
formado por
e
.
Passo 5
Resolvendo o sistema
e
.
De
isola-se
:
Substitui-se em
:
Desenvolvendo:
Agrupando
:
Isolando
:
Passo 6
Com
, calculamos
usando
:
Agora encontramos
usando a equação (1):
.
Colocando tudo com denominador
:
E já tínhamos
.
Passo 7
Verificação rápida (importante em provas): substituir os coeficientes encontrados nas equações originais para garantir que batem.
- Para
: . Confere. - Para
: . Confere. - Para
: . Confere.
Tudo bate, então os coeficientes estão corretos.