Calcule
para os seguintes casos:
(c)
e
é a superfície de
de uma esfera definida
.
(c)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se calcular
(fluxo total) onde é a superfície que limita a região descrita por
- O campo vetorial é
- A integração é sobre a superfície fechada que limita o volume descrito acima (o “fatia” esférica com os ângulos
e entre e e raio máximo ). - Objetivo prático: calcular o fluxo total de
através dessa superfície fechada.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática curta e motivo):
- Quando o problema pede o fluxo através de uma superfície fechada, a forma mais direta é usar o Teorema da Divergência (Gauss):
onde é o volume limitado por . - Isso transforma um integral de superfície em um integral de volume, geralmente mais simples quando se conhece a divergência do campo.
- Vou então calcular
em coordenadas esféricas e integrar sobre o volume dado.
Passo 3
Fórmula da divergência em coordenadas esféricas e identificação das componentes:
- Em coordenadas esféricas (com base
) a divergência de é dada por - No nosso campo temos as componentes:
Passo 4
Cálculo explícito da divergência:
- Primeiro termo:
então - Segundo termo:
implica - Terceiro termo:
Assim - Somando os termos:
Passo 5
Aplicar o Teorema da Divergência e montar o integral de volume:
- Pelo teorema,
- Em coordenadas esféricas o elemento de volume é
. - Portanto o integrando fica
- Os limites de integração são
Passo 6
Executar as integrais em ordem (primeiro
, depois
e
):
- Escrevendo o integral triplo:
- Integral em
:
Logo após a integração em
o integrando reduz a
- Integral em
: Assim resta - Integral em
: - Subtraindo:
Passo 7
Interpretar e simplificar resultado (forma compacta):
- Podemos fatorar
se quisermos: