Calcule oint_{S} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{S} para os seguintes casos:
(c) \mathbf{A}=r^{2} \mathbf{a}_{r}+r \operatorname{sen}(\theta) \cos (\varphi) \mathbf{a}_{\varphi} e S é a superfície de \frac{1}{4} de uma esfera definida 0 \leq r \leq 3,0 \leq \theta, \varphi \leq \pi / 2.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se calcular \displaystyle \oint_{S} \mathbf{A}\cdot d\mathbf{S} (fluxo total) onde S é a superfície que limita a região descrita por
    \;0\le r\le 3,\;0\le \theta\le \pi/2,\;0\le \varphi\le \pi/2.
  • O campo vetorial é \mathbf{A} = r^{2}\,\mathbf{a}_r + r\sin(\theta)\cos(\varphi)\,\mathbf{a}_\varphi.
  • A integração é sobre a superfície fechada que limita o volume descrito acima (o “fatia” esférica com os ângulos \theta e \varphi entre 0 e \pi/2 e raio máximo 3).
  • Objetivo prático: calcular o fluxo total de \mathbf{A} através dessa superfície fechada.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática curta e motivo):
  • Quando o problema pede o fluxo através de uma superfície fechada, a forma mais direta é usar o Teorema da Divergência (Gauss): \oint_{S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S} = \int_{V} (\nabla\cdot\mathbf{A})\, dV,onde V é o volume limitado por S.
  • Isso transforma um integral de superfície em um integral de volume, geralmente mais simples quando se conhece a divergência do campo.
  • Vou então calcular \nabla\cdot\mathbf{A} em coordenadas esféricas e integrar sobre o volume dado.

Passo 3

Fórmula da divergência em coordenadas esféricas e identificação das componentes:
  • Em coordenadas esféricas (com base \mathbf{a}_r,\mathbf{a}_\theta,\mathbf{a}_\varphi) a divergência de \mathbf{A} é dada por \nabla\cdot\mathbf{A} = \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\big(r^{2}A_{r}\big) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\big(\sin\theta\,A_{\theta}\big) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi}.
  • No nosso campo temos as componentes: A_{r} = r^{2},\qquad A_{\theta}=0,\qquad A_{\varphi}=r\sin\theta\cos\varphi.

Passo 4

Cálculo explícito da divergência:
  • Primeiro termo: r^{2}A_{r} = r^{2}\cdot r^{2} = r^{4},\quad \frac{\partial}{\partial r}\!(r^{4}) = 4r^{3},então \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!(r^{2}A_{r}) = \frac{1}{r^{2}}\cdot 4r^{3} = 4r.
  • Segundo termo: A_{\theta}=0 implica \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!(\sin\theta\,A_{\theta}) = 0.
  • Terceiro termo: \frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi} = \frac{\partial}{\partial\varphi}\!\big(r\sin\theta\cos\varphi\big) = r\sin\theta\cdot(-\sin\varphi) = -r\sin\theta\sin\varphi.Assim \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi} = \frac{1}{r\sin\theta}\cdot\big(-r\sin\theta\sin\varphi\big) = -\sin\varphi.
  • Somando os termos: \nabla\cdot\mathbf{A} = 4r - \sin\varphi.

Passo 5

Aplicar o Teorema da Divergência e montar o integral de volume:
  • Pelo teorema, \oint_{S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S} = \int_{V} (4r - \sin\varphi)\, dV.
  • Em coordenadas esféricas o elemento de volume é dV = r^{2}\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi.
  • Portanto o integrando fica (4r - \sin\varphi)\, r^{2}\sin\theta = \big(4r^{3} - r^{2}\sin\varphi\big)\sin\theta.
  • Os limites de integração são r\in[0,3],\quad \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}],\quad \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}].

Passo 6

Executar as integrais em ordem (primeiro r, depois \theta e \varphi):
  • Escrevendo o integral triplo: \oint_{S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S} = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3} \big(4r^{3}-r^{2}\sin\varphi\big)\sin\theta \, dr\, d\theta\, d\varphi.
  • Integral em r: \int_{0}^{3}4r^{3}\,dr = \big[r^{4}\big]_{0}^{3} = 3^{4} = 81,
\int_{0}^{3} r^{2}\,dr = \big[\tfrac{r^{3}}{3}\big]_{0}^{3} = \tfrac{27}{3} = 9.
Logo após a integração em r o integrando reduz a
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2} \big(81 - 9\sin\varphi\big)\sin\theta \, d\theta\, d\varphi.
  • Integral em \theta: \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\, d\theta = \big[-\cos\theta\big]_{0}^{\pi/2} = 1.Assim resta \int_{0}^{\pi/2} \big(81 - 9\sin\varphi\big)\, d\varphi.
  • Integral em \varphi: \int_{0}^{\pi/2}81\, d\varphi = 81\cdot \tfrac{\pi}{2}, \qquad \int_{0}^{\pi/2}9\sin\varphi\, d\varphi = 9\cdot\big[-\cos\varphi\big]_{0}^{\pi/2} = 9\cdot(0-(-1)) = 9.
  • Subtraindo: \oint_{S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S} = 81\cdot\tfrac{\pi}{2} - 9.

Passo 7

Interpretar e simplificar resultado (forma compacta):
  • Podemos fatorar 9 se quisermos: \oint_{S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S} = 9\!\left(\tfrac{9\pi}{2} - 1\right).

Resposta

\dfrac{81\pi}{2}-9

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