Encontre o potencial escalar magnético em pontos ao redor de um fio retilíneo infinito por onde passa uma corrente estacionária
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele fornece.
- O enunciado pede: encontrar o potencial escalar magnético nos pontos ao redor de um fio retilíneo infinito percorrido por uma corrente estacionária
. - Informações dadas que usaremos:
- Há um fio retilíneo infinito; a corrente que passa pelo fio é constante no tempo e vale
. - Queremos o potencial escalar magnético na região ao redor do fio (ou seja, fora do eixo do fio).
- Há um fio retilíneo infinito; a corrente que passa pelo fio é constante no tempo e vale
- Observação importante para a resolução: o potencial escalar magnético aqui é a função
definida (quando possível) por
onde
é a intensidade magnética. A existência de
depende da região (não existe um
global e simples que seja regular no eixo do fio).
Passo 2
Campo magnético conhecido para fio infinito — usar Lei de Ampère.
- Para um fio retilíneo infinito, o campo magnético (em coordenadas cilíndricas
, com fio ao longo do eixo ) é dado por
Explicação curta: a Lei de Ampère aplicada a um círculo de raio
centrado no fio dá
, e
é tangencial (na direção
) e tem simetria circular; daí
acima.
- A intensidade magnética é
. Portanto
Passo 3
Quando podemos usar potencial escalar e qual equação vamos resolver.
- Em uma região sem corrente volumétrica (ou seja, fora do fio) e onde
localmente, existe (pelo menos localmente) um potencial escalar tal que . - Vamos impor essa relação e integrar para achar
. Como tem só componente azimutal , é natural trabalhar em coordenadas cilíndricas.
Passo 4
Expressão do operador gradiente em coordenadas cilíndricas (aula curta).
- Em coordenadas cilíndricas
o gradiente de uma função escalar é
- Se
e com , então comparando componentes teremos condições nas derivadas parciais de .
Passo 5
Equações para as derivadas de
e integração.
- Das componentes radial e axial (já que
e ):
Isto mostra que
não depende de
nem de
; depende apenas de
.
- Da componente azimutal:
Multiplicando por
:
- Integrando em relação a
:
onde
é uma constante (independente de
).
Passo 6
Verificação e interpretação física / matematicamente didática.
- Verificação direta: calcule
. Como e e ,
que é exatamente
. Portanto a função encontrada é coerente.
- Interpretação importante (atenção para a prova!): a variável
é multivalorada — quando se aumenta de para a função muda de valor em . Ou seja, é multi‑valorada ao redor do fio. Isso acontece porque a região completa ao redor do fio não é simplesmente conexa (há um “buraco” no eixo); o campo tem circulação não nula em torno do fio ( ), então não existe um potencial escalar contínuo e unívoco em toda a volta sem introduzir uma descontinuidade (corte) ou sem aceitar multivaloriedade. - Para usar
como função simples é comum escolher um ramo de (por exemplo ) e admitir uma descontinuidade na linha de corte que liga o eixo ao infinito; fisicamente isso não é problema porque é bem definido.
Passo 7
Expressão em coordenadas cartesianas e nota sobre representações.
- Como
(mais rigorosamente usar a função para o ramo correto), pode escrever em coordenadas cartesianas
lembrando que a função
tem o mesmo tipo de ambiguidade por saltos de
e deve-se usar a versão que dá a variação correta de
no intervalo escolhido.
- Se alguém preferir escrever o potencial associado a
diretamente (isto é, ), então
porque
.