Encontre o potencial escalar magnético em pontos ao redor de um fio retilíneo infinito por onde passa uma corrente estacionária i.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele fornece.
  • O enunciado pede: encontrar o potencial escalar magnético nos pontos ao redor de um fio retilíneo infinito percorrido por uma corrente estacionária i.
  • Informações dadas que usaremos:
    • Há um fio retilíneo infinito; a corrente que passa pelo fio é constante no tempo e vale i.
    • Queremos o potencial escalar magnético na região ao redor do fio (ou seja, fora do eixo do fio).
  • Observação importante para a resolução: o potencial escalar magnético aqui é a função \Phi_m definida (quando possível) por
\mathbf{H} = -\nabla \Phi_m,
onde \mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu_0 é a intensidade magnética. A existência de \Phi_m depende da região (não existe um \Phi_m global e simples que seja regular no eixo do fio).

Passo 2

Campo magnético conhecido para fio infinito — usar Lei de Ampère.
  • Para um fio retilíneo infinito, o campo magnético (em coordenadas cilíndricas (r,\varphi,z), com fio ao longo do eixo z) é dado por
\mathbf{B}=\frac{\mu_0 i}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
Explicação curta: a Lei de Ampère aplicada a um círculo de raio r centrado no fio dá \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0 i, e \mathbf{B} é tangencial (na direção \hat{\boldsymbol{\varphi}}) e tem simetria circular; daí \mathbf{B} acima.
  • A intensidade magnética é \mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu_0. Portanto
\mathbf{H}=\frac{i}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.

Passo 3

Quando podemos usar potencial escalar e qual equação vamos resolver.
  • Em uma região sem corrente volumétrica (ou seja, fora do fio) e onde \nabla\times\mathbf{H}=0 localmente, existe (pelo menos localmente) um potencial escalar \Phi_m tal que \mathbf{H}=-\nabla\Phi_m.
  • Vamos impor essa relação e integrar para achar \Phi_m. Como \mathbf{H} tem só componente azimutal \hat{\boldsymbol{\varphi}}, é natural trabalhar em coordenadas cilíndricas.

Passo 4

Expressão do operador gradiente em coordenadas cilíndricas (aula curta).
  • Em coordenadas cilíndricas (r,\varphi,z) o gradiente de uma função escalar \Phi(r,\varphi,z) é
\nabla\Phi=\frac{\partial\Phi}{\partial r}\,\hat{\mathbf r}+\frac{1}{r}\frac{\partial\Phi}{\partial\varphi}\,\hat{\boldsymbol\varphi}+\frac{\partial\Phi}{\partial z}\,\hat{\mathbf z}.
  • Se \mathbf{H}=-\nabla\Phi_m e \mathbf{H}=(0,H_\varphi,0) com H_\varphi=\dfrac{i}{2\pi r}, então comparando componentes teremos condições nas derivadas parciais de \Phi_m.

Passo 5

Equações para as derivadas de \Phi_m e integração.
  • Das componentes radial e axial (já que H_r=0 e H_z=0):
H_r=-\frac{\partial\Phi_m}{\partial r}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial\Phi_m}{\partial r}=0,
H_z=-\frac{\partial\Phi_m}{\partial z}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial\Phi_m}{\partial z}=0.
Isto mostra que \Phi_m não depende de r nem de z; depende apenas de \varphi.
  • Da componente azimutal:
H_\varphi=-\frac{1}{r}\frac{\partial\Phi_m}{\partial\varphi}=\frac{i}{2\pi r}.
Multiplicando por -r:
\frac{\partial\Phi_m}{\partial\varphi}=-\frac{i}{2\pi}.
  • Integrando em relação a \varphi:
\Phi_m(\varphi)=-\frac{i}{2\pi}\,\varphi + C,
onde C é uma constante (independente de r,\varphi,z).

Passo 6

Verificação e interpretação física / matematicamente didática.
  • Verificação direta: calcule -\nabla\Phi_m. Como \partial\Phi_m/\partial r=0 e \partial\Phi_m/\partial z=0 e \partial\Phi_m/\partial\varphi=-i/(2\pi),
-\nabla\Phi_m = -\left(0\cdot\hat{\mathbf r}+\frac{1}{r}\frac{\partial\Phi_m}{\partial\varphi}\hat{\boldsymbol\varphi}+0\cdot\hat{\mathbf z}\right) = -\frac{1}{r}\left(-\frac{i}{2\pi}\right)\hat{\boldsymbol\varphi} = \frac{i}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol\varphi},
que é exatamente \mathbf{H}. Portanto a função encontrada é coerente.
  • Interpretação importante (atenção para a prova!): a variável \varphi é multivalorada — quando se aumenta \varphi de 0 para 2\pi a função \Phi_m muda de valor em -i. Ou seja, \Phi_m é multi‑valorada ao redor do fio. Isso acontece porque a região completa ao redor do fio não é simplesmente conexa (há um “buraco” no eixo); o campo \mathbf{H} tem circulação não nula em torno do fio ( \oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=i), então não existe um potencial escalar contínuo e unívoco em toda a volta sem introduzir uma descontinuidade (corte) ou sem aceitar multivaloriedade.
  • Para usar \Phi_m como função simples é comum escolher um ramo de \varphi (por exemplo \varphi\in(0,2\pi)) e admitir uma descontinuidade na linha de corte que liga o eixo ao infinito; fisicamente isso não é problema porque \mathbf{H} é bem definido.

Passo 7

Expressão em coordenadas cartesianas e nota sobre representações.
  • Como \varphi=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) (mais rigorosamente usar a função \operatorname{atan2}(y,x) para o ramo correto), pode escrever em coordenadas cartesianas
\Phi_m(x,y)=-\frac{i}{2\pi}\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)+C,
lembrando que a função \arctan(y/x) tem o mesmo tipo de ambiguidade por saltos de \pi e deve-se usar a versão que dá a variação correta de \varphi no intervalo escolhido.
  • Se alguém preferir escrever o potencial associado a \mathbf{B} diretamente (isto é, \mathbf{B}=-\mu_0\nabla\Psi), então
\Psi(r,\varphi)=-\frac{\mu_0 i}{2\pi}\,\varphi + C',
porque \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}.

Resposta

\displaystyle \Phi_m(r,\varphi)=-\frac{i}{2\pi}\,\varphi + C

Exercícios relacionados