Considere dois fios retilíneos muito longos e paralelos, percorridos por correntes estacionárias i_{1} e i_{2}.
Supondo que as correntes possuem sentidos contrários, mostre que a força magnética entre os fios é repulsiva.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: dois fios retilíneos muito longos e paralelos, percorridos por correntes estacionárias \,i_{1}\, e \,i_{2}\,.
  • Informação extra natural para resolver o problema: os fios estão separados por uma distância (chamo de) \,d\, medida perpendicularmente entre os eixos dos fios.
  • Condição importante: as correntes possuem sentidos contrários (por exemplo, \,i_{1} sobe no eixo z e \,i_{2} desce no eixo z).
  • Pedido: mostrar que a força magnética entre os fios é repulsiva.

Passo 2

Resumo das leis físicas que vamos usar (explicadas de forma simples).
  • Campo magnético de um fio retilíneo e infinitamente longo: para um fio longo com corrente \,i, o campo magnético a uma distância radial \,r\, do fio tem módulo
B(r)=\frac{\mu_{0}\,i}{2\pi r},
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo. Explicação das variáveis:
  • \,B(r) é o módulo do campo magnético no ponto a distância \,r do fio;
  • \mu_{0} é uma constante ( \mu_{0}\approx4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N/A^{2}});
  • \,i é a corrente no fio.
    Esse resultado pode ser obtido por Ampère (linha fechada rodeando o fio) ou pela lei de Biot–Savart; o que importa aqui é a forma B\propto i/r.
  • Força magnética sobre um elemento de fio com corrente: um elemento de comprimento \,\mathrm{d}\vec\ell percorrido por corrente \,i sofre uma força
\mathrm{d}\vec F = i\,\mathrm{d}\vec\ell \times \vec B,
onde o produto vetorial dá direção e sentido da força (use a regra da mão direita: \mathrm{d}\vec\ell é o “polegar”, \vec B são os dedos; a palma indica a direção de \mathrm{d}\vec F).

Passo 3

Escolher um sistema de coordenadas e calcular o campo magnético do fio 1 no ponto onde está o fio 2.
  • Posicionar os fios: tomar ambos orientados ao longo do eixo z. Colocar o fio 1 no \,x=0 e o fio 2 no \,x=d (ambos com y=0).
  • Suponha que a corrente do fio 1 seja \,i_{1} no sentido +\hat z.
  • Então o campo magnético gerado pelo fio 1 no ponto x=d tem módulo, pela fórmula acima,
B_{1}(d)=\frac{\mu_{0}\,i_{1}}{2\pi d}.
  • Precisamos também da direção de \vec B_{1} naquele ponto. Pelo sentido circular do campo ao redor de um fio retilíneo (regra da mão direita): com o polegar em +\hat z, os dedos mostram que, no ponto sobre o eixo x>0 (isto é, \,x=d), o campo aponta na direção +\hat y. Portanto
\vec B_{1} = \frac{\mu_{0}\,i_{1}}{2\pi d}\,\hat y.

Passo 4

Escrever a direção do elemento de corrente do fio 2 e aplicar a fórmula da força.
  • A corrente do fio 2 tem sentido oposto ao do fio 1, portanto a corrente no fio 2 é \,i_{2} no sentido -\hat z. Um elemento de comprimento orientado segundo a corrente é \mathrm{d}\vec\ell_{2} = \mathrm{d}\ell\,(-\hat z).
  • Força sobre um elemento de comprimento \mathrm{d}\ell do fio 2 devido ao campo de fio 1:
\mathrm{d}\vec F_{2} = i_{2}\,\mathrm{d}\vec\ell_{2}\times \vec B_{1} = i_{2}\,(\mathrm{d}\ell\,(-\hat z)) \times \left(\frac{\mu_{0}\,i_{1}}{2\pi d}\,\hat y\right).

Passo 5

Fazer o produto vetorial explicitamente e interpretar a direção.
  • Primeiro fatorar constantes e \mathrm{d}\ell:
\mathrm{d}\vec F_{2} = \frac{\mu_{0}\,i_{1}i_{2}}{2\pi d}\,\mathrm{d}\ell\,\big( (-\hat z)\times \hat y\big).
  • Calcular o produto vetorial de base: \hat z\times \hat y = -(\hat y\times \hat z). Sabendo que \hat x\times \hat y=\hat z, \hat y\times \hat z=\hat x, \hat z\times \hat x=\hat y, obtemos \hat z\times \hat y = -\hat x. Portanto
(-\hat z)\times \hat y = -(\hat z\times \hat y) = -(-\hat x) = \hat x.
  • Substituindo:
\mathrm{d}\vec F_{2} = \frac{\mu_{0}\,i_{1}i_{2}}{2\pi d}\,\mathrm{d}\ell\,\hat x.

Passo 6

Interpretar o resultado: direção e sinal — é repulsiva.
  • O vetor \hat x aponta do fio 1 (em x=0) para fora, ou seja, para valores positivos de x. O fio 2 está em x=d; uma força na direção +\hat x empurra o fio 2 no sentido de aumentar x, afastando-o do fio 1.
  • Portanto a força sobre o fio 2 devido ao fio 1 é dirigida para longe do fio 1 — ou seja, é uma força repulsiva entre os fios quando as correntes têm sentidos opostos.

Passo 7

Expressar a magnitude por unidade de comprimento (fórmula útil para provas).
  • A força sobre um pequeno trecho \mathrm{d}\ell tem módulo
\mathrm{d}F_{2} = \frac{\mu_{0}\,i_{1}i_{2}}{2\pi d}\,\mathrm{d}\ell.
  • Dividindo por \mathrm{d}\ell, a força por unidade de comprimento é
\frac{F}{L}=\frac{\mu_{0}\,i_{1}i_{2}}{2\pi d}.
  • Observação de sinal/direção: o vetor força por unidade de comprimento sobre o fio 2 é \dfrac{\mu_{0}i_{1}i_{2}}{2\pi d}\,\hat x neste arranjo; se as correntes tivessem mesmo sentido, a direção seria -\hat x (atração).

Passo 8

Resumo intuitivo e encorajamento.
  • Intuitivamente: correntes criam campos circulares; se a segunda corrente “vê” um campo que, combinado com seu sentido, gera uma força apontando para longe, então é repulsão. Correntes no mesmo sentido geram força para próximo (atração); correntes em sentidos opostos geram força para longe (repulsão).
  • Você já tem a fórmula padrão que costuma cair em provas e exercícios: sinais contrários -> repulsão; mesmo sinal -> atração, com magnitude dada por \dfrac{\mu_{0}i_{1}i_{2}}{2\pi d}.

Resposta

A força entre os fios é repulsiva. A força por unidade de comprimento tem módulo \dfrac{\mu_{0}\,i_{1}i_{2}}{2\pi d} e é dirigida radialmente para afastar os fios (no arranjo acima, no sentido +\hat x).

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