Considere dois fios retilíneos muito longos e paralelos, percorridos por correntes estacionárias
e
.
Supondo que as correntes possuem sentidos contrários, mostre que a força magnética entre os fios é repulsiva.
Supondo que as correntes possuem sentidos contrários, mostre que a força magnética entre os fios é repulsiva.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: dois fios retilíneos muito longos e paralelos, percorridos por correntes estacionárias
e . - Informação extra natural para resolver o problema: os fios estão separados por uma distância (chamo de)
medida perpendicularmente entre os eixos dos fios. - Condição importante: as correntes possuem sentidos contrários (por exemplo,
sobe no eixo e desce no eixo ). - Pedido: mostrar que a força magnética entre os fios é repulsiva.
Passo 2
Resumo das leis físicas que vamos usar (explicadas de forma simples).
- Campo magnético de um fio retilíneo e infinitamente longo: para um fio longo com corrente
, o campo magnético a uma distância radial do fio tem módulo
onde
é a permeabilidade do vácuo. Explicação das variáveis:
-
é o módulo do campo magnético no ponto a distância do fio; -
é uma constante ( ); -
é a corrente no fio.
Esse resultado pode ser obtido por Ampère (linha fechada rodeando o fio) ou pela lei de Biot–Savart; o que importa aqui é a forma. -
Força magnética sobre um elemento de fio com corrente: um elemento de comprimento
percorrido por corrente sofre uma força
onde o produto vetorial dá direção e sentido da força (use a regra da mão direita:
é o “polegar”,
são os dedos; a palma indica a direção de
).
Passo 3
Escolher um sistema de coordenadas e calcular o campo magnético do fio 1 no ponto onde está o fio 2.
- Posicionar os fios: tomar ambos orientados ao longo do eixo
. Colocar o fio 1 no e o fio 2 no (ambos com ). - Suponha que a corrente do fio 1 seja
no sentido . - Então o campo magnético gerado pelo fio 1 no ponto
tem módulo, pela fórmula acima,
- Precisamos também da direção de
naquele ponto. Pelo sentido circular do campo ao redor de um fio retilíneo (regra da mão direita): com o polegar em , os dedos mostram que, no ponto sobre o eixo (isto é, ), o campo aponta na direção . Portanto
Passo 4
Escrever a direção do elemento de corrente do fio 2 e aplicar a fórmula da força.
- A corrente do fio 2 tem sentido oposto ao do fio 1, portanto a corrente no fio 2 é
no sentido . Um elemento de comprimento orientado segundo a corrente é . - Força sobre um elemento de comprimento
do fio 2 devido ao campo de fio 1:
Passo 5
Fazer o produto vetorial explicitamente e interpretar a direção.
- Primeiro fatorar constantes e
:
- Calcular o produto vetorial de base:
. Sabendo que , , , obtemos . Portanto
- Substituindo:
Passo 6
Interpretar o resultado: direção e sinal — é repulsiva.
- O vetor
aponta do fio 1 (em ) para fora, ou seja, para valores positivos de . O fio 2 está em ; uma força na direção empurra o fio 2 no sentido de aumentar , afastando-o do fio 1. - Portanto a força sobre o fio 2 devido ao fio 1 é dirigida para longe do fio 1 — ou seja, é uma força repulsiva entre os fios quando as correntes têm sentidos opostos.
Passo 7
Expressar a magnitude por unidade de comprimento (fórmula útil para provas).
- A força sobre um pequeno trecho
tem módulo
- Dividindo por
, a força por unidade de comprimento é
- Observação de sinal/direção: o vetor força por unidade de comprimento sobre o fio 2 é
neste arranjo; se as correntes tivessem mesmo sentido, a direção seria (atração).
Passo 8
Resumo intuitivo e encorajamento.
- Intuitivamente: correntes criam campos circulares; se a segunda corrente “vê” um campo que, combinado com seu sentido, gera uma força apontando para longe, então é repulsão. Correntes no mesmo sentido geram força para próximo (atração); correntes em sentidos opostos geram força para longe (repulsão).
- Você já tem a fórmula padrão que costuma cair em provas e exercícios: sinais contrários -> repulsão; mesmo sinal -> atração, com magnitude dada por
.
Resposta
A força entre os fios é repulsiva. A força por unidade de comprimento tem módulo
e é dirigida radialmente para afastar os fios (no arranjo acima, no sentido
).