Encontre o potencial vetorial de um solenoide infinito com n voltas por unidade de comprimento, raio R e corrente I.
Passo 1
O enunciado pede o potencial vetorial de um solenoide infinito com n voltas por unidade de comprimento, raio R e corrente I. As informações relevantes são:
O solenoide é considerado infinito (extensão muito maior que R), portanto há simetria cilíndrica e invariância por translação ao longo do eixo.
O raio do solenoide é R.
A densidade de voltas por comprimento é n (voltase por unidade de comprimento) e cada volta carrega corrente I.
Precisamos encontrar um campo vetorial \mathbf{A}(\mathbf{r}) tal que \nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}, sendo \mathbf{B} o campo magnético associado ao solenoide.
As perguntas implícitas que vamos responder:
Qual é \mathbf{B} (valor conhecido do campo magnético dentro e fora do solenoide)?
Qual \mathbf{A}(\mathbf{r}) que satisfaz \nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B} respeitando a simetria e condições físicas razoáveis (regularidade em r=0, decaimento em infinito, continuidade apropriada na superfície r=R)?
Passo 2
Primeiro, lembrar (e justificar rapidamente) o campo magnético de um solenoide infinito. Pelo teorema de Ampère aplicado a um laço amperiano coaxial com o solenoide:
Para r<R (dentro do solenoide), a corrente encapsulada por um laço de comprimento L é I_{\text{enc}}=n L\cdot I. Ampère dá
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell} = \mu_0 I_{\text{enc}} \quad\Rightarrow\quad B_z(2\pi r)=\mu_0 n L I /L=\mu_0 n I\cdot 2\pi r?
Corrigindo a escrita: mais direto, pela simetria \mathbf{B} é axial e constante em r<R, então escolhendo um caminho circular coaxial de raio r<R a integral dá B_z\cdot 2\pi r=\mu_0 (nI)\cdot 2\pi r e, cancelando 2\pi r, obtemos
\mathbf{B}(r<R)=\mu_0 n I\,\hat{z}.
Para r>R não há corrente líquida atravessando um laço coaxial (todas as correntes se cancelam), logo
Escolha do método: pela simetria cilíndrica e invariância em z e \varphi (não há variação com \varphi nem com z), é natural procurar \mathbf{A} com apenas componente azimutal:
\mathbf{A}(r)=A_\varphi(r)\,\hat{\varphi}.
Explico por que: para obter um \mathbf{B} puramente axial (\hat{z}) com simetria circular, a componente azimutal de \mathbf{A} é a que gera (\nabla\times\mathbf{A})_z não-nula. Além disso essa escolha tende a satisfazer \nabla\cdot\mathbf{A}=0 (boa relação com a gauge de Coulomb) se A_\varphi não depende de \varphi nem de z.
Agora preciso da expressão para o rotacional em coordenadas cilíndricas, componente axial relevante:
Resolver dentro do solenoide (r<R). Substituindo B_z(r)=\mu_0 n I (constante) temos:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\big(r A_\varphi\big)=\mu_0 n I.
Multiplicando por r:
\frac{d}{dr}\big(r A_\varphi\big)=\mu_0 n I\, r.
Integrando em r:
r A_\varphi(r)=\int \mu_0 n I\, r\, dr = \frac{\mu_0 n I}{2}\, r^2 + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Assim
A_\varphi(r)=\frac{\mu_0 n I}{2}\, r + \frac{C_1}{r}.
Impondo regularidade física em r=0 (o potencial não pode divergir no centro), o termo C_1/r diverge quando r\to 0, portanto devemos tomar C_1=0. Logo, dentro:
A_\varphi^{(\text{in})}(r)=\frac{\mu_0 n I}{2}\, r,\qquad (r<R).
Passo 5
Resolver fora do solenoide (r>R). Aqui B_z(r)=0, então
r A_\varphi(r)=C_2 \quad\Rightarrow\quad A_\varphi(r)=\frac{C_2}{r},
com C_2 constante. Para determinar C_2 usamos continuidade prática da componente tangencial de \mathbf{A} na superfície r=R (escolha de gauge que evita singularidades físicas e é usual na construção do potencial para o solenoide) e também porque queremos que \mathbf{A} decaia à distância. Igualando A_\varphi^{(\text{in})}(R) com A_\varphi^{(\text{out})}(R):
\frac{\mu_0 n I}{2}\, R = \frac{C_2}{R} \quad\Rightarrow\quad C_2 = \frac{\mu_0 n I}{2}\, R^2.
Logo, fora do solenoide:
A_\varphi^{(\text{out})}(r)=\frac{\mu_0 n I}{2}\,\frac{R^2}{r},\qquad (r\ge R).
Note que essa expressão decai como 1/r quando r\to\infty, portanto vai para zero no infinito (comportamento físico esperado para o potencial escolhido).
Passo 6
Resumo e verificação curta: o potencial vetorial escolhido é
\mathbf{A}(r)=A_\varphi(r)\,\hat{\varphi}= \begin{cases} \dfrac{\mu_0 n I}{2}\, r\,\hat{\varphi}, & r<R,\\[8pt] \dfrac{\mu_0 n I}{2}\,\dfrac{R^2}{r}\,\hat{\varphi}, & r\ge R. \end{cases}
Verificação rápida do rotacional:
Para r<R:
(\nabla\times\mathbf{A})_z=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\big(r A_\varphi\big) =\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\cdot\frac{\mu_0 n I}{2}r\right) =\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(\frac{\mu_0 n I}{2}r^2\right) =\frac{1}{r}\left(\mu_0 n I\, r\right)=\mu_0 n I,
ou seja \mathbf{B}=\mu_0 n I\,\hat{z}.
Para r>R:
(\nabla\times\mathbf{A})_z=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\cdot\frac{\mu_0 n I}{2}\frac{R^2}{r}\right) =\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(\frac{\mu_0 n I}{2}R^2\right)=0,
logo \mathbf{B}=\mathbf{0}. Tudo consistente.
Observação sobre gauge: este \mathbf{A} satisfaz \nabla\cdot\mathbf{A}=0 (pois A_\varphi não depende de \varphi nem de z), ou seja, está na gauge de Coulomb. Há liberdade de adicionar \nabla\chi (qualquer gradiente) sem alterar \mathbf{B}; a forma acima é a escolha padrão e bem comportada.]
Passo 7
Encorajamento: esse é um problema clássico — lembra bastante de “encaixar” simetria + equação \nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B} e usar condições físicas (regularidade no centro, decaimento no infinito, continuidade). Se ficou nervoso, recapitulando a estratégia em uma frase: achar \mathbf{B} por Ampère, assumir \mathbf{A}=A_\varphi(r)\hat{\varphi} por simetria, resolver a ODE \frac{1}{r}\frac{d}{dr}(rA_\varphi)=B_z(r) e fixar constantes por regularidade e continuidade.
Resposta
\displaystyle \mathbf{A}(r)=
\begin{cases}
\dfrac{\mu_0 n I}{2}\, r\,\hat{\varphi}, & r<R,\\[8pt]
\dfrac{\mu_0 n I}{2}\,\dfrac{R^2}{r}\,\hat{\varphi}, & r\ge R.
\end{cases}]