Um recipiente contém um gás a 300 K . Se a temperatura, em Kelvin, for reduzida à metade, o que ocorre com a energia cinética média das moléculas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
Temperatura inicial do gás: T_1 = 300\\ \text{K}.
A temperatura é reduzida à metade, ou seja, a nova temperatura é T_2 = \dfrac{T_1}{2}.
A pergunta é: o que ocorre com a energia cinética média das moléculas quando a temperatura, em Kelvin, é reduzida à metade?
Passo 2
Apresentar a relação física que liga temperatura e energia cinética média. Para um gás ideal, a energia cinética média por molécula está relacionada com a temperatura absoluta pela fórmula
\overline{E_k}=\frac{3}{2}k_B T,
onde:
\overline{E_k} é a energia cinética média de uma molécula (em joules),
k_B é a constante de Boltzmann (em \mathrm{J/K}),
T é a temperatura absoluta em Kelvin.
Explicando com calma: essa fórmula diz que a energia média associada ao movimento translacional das moléculas aumenta linearmente com a temperatura absoluta; dobrar T dobra \overline{E_k}, reduzir T pela metade reduz \overline{E_k} pela metade — já estamos vendo a ideia, mas vou mostrar passo a passo.
Passo 3
Substituir T_2 = \dfrac{T_1}{2} na fórmula para comparar as energias médias inicial e final. A energia média inicial é
Portanto, a energia cinética média fica exatamente pela metade quando a temperatura em Kelvin é reduzida à metade.
Passo 4
Para tornar isso mais concreto, faço um cálculo numérico aproximado por molécula usando k_B \approx 1,38\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
Calculemos \overline{E_{k1}}:
confirmando numericamente que a energia média é reduzida à metade.
Passo 5
Comentário adicional útil para a prova: a velocidade quadrática média (ou velocidade rms) das moléculas está ligada à energia média por
\overline{E_k}=\tfrac{1}{2}m\overline{v^2},
onde m é a massa de uma molécula e \overline{v^2} é a média dos quadrados das velocidades. Como \overline{E_k}\propto T, segue que \overline{v^2}\propto T e, portanto, a velocidade rms v_{\text{rms}}=\sqrt{\overline{v^2}} varia como \sqrt{T}. Assim, se T é reduzida à metade, v_{\text{rms}} é reduzida por um fator \dfrac{1}{\sqrt{2}} (aprox. 0,707 vezes).
Passo 6
Interpretação física e dica para a prova: em Kelvin, a temperatura é proporcional à energia térmica por grau de liberdade. Portanto qualquer mudança percentual em T implica a mesma mudança percentual em \overline{E_k}. Na prova, ao ver perguntas sobre “metade da temperatura em Kelvin”, pense imediatamente: “metade da energia média”.
Resposta
A energia cinética média das moléculas reduz-se à metade.