Um recipiente contém um gás a 300 K . Se a temperatura, em Kelvin, for reduzida à metade, o que ocorre com a energia cinética média das moléculas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Temperatura inicial do gás: T_1 = 300\\ \text{K}.
  • A temperatura é reduzida à metade, ou seja, a nova temperatura é T_2 = \dfrac{T_1}{2}.
    A pergunta é: o que ocorre com a energia cinética média das moléculas quando a temperatura, em Kelvin, é reduzida à metade?

Passo 2

Apresentar a relação física que liga temperatura e energia cinética média. Para um gás ideal, a energia cinética média por molécula está relacionada com a temperatura absoluta pela fórmula
\overline{E_k}=\frac{3}{2}k_B T,
onde:
  • \overline{E_k} é a energia cinética média de uma molécula (em joules),
  • k_B é a constante de Boltzmann (em \mathrm{J/K}),
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin.
    Explicando com calma: essa fórmula diz que a energia média associada ao movimento translacional das moléculas aumenta linearmente com a temperatura absoluta; dobrar T dobra \overline{E_k}, reduzir T pela metade reduz \overline{E_k} pela metade — já estamos vendo a ideia, mas vou mostrar passo a passo.

Passo 3

Substituir T_2 = \dfrac{T_1}{2} na fórmula para comparar as energias médias inicial e final. A energia média inicial é
\overline{E_{k1}}=\frac{3}{2}k_B T_1.
A energia média após a redução da temperatura é
\overline{E_{k2}}=\frac{3}{2}k_B T_2=\frac{3}{2}k_B\left(\frac{T_1}{2}\right).
Fatorando, obtemos
\overline{E_{k2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}k_B T_1\right)=\frac{1}{2}\,\overline{E_{k1}}.
Portanto, a energia cinética média fica exatamente pela metade quando a temperatura em Kelvin é reduzida à metade.

Passo 4

Para tornar isso mais concreto, faço um cálculo numérico aproximado por molécula usando k_B \approx 1,38\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
Calculemos \overline{E_{k1}}:
\overline{E_{k1}}=\frac{3}{2}\,k_B T_1=\frac{3}{2}\times1,38\times10^{-23}\times300.
Multiplicando passo a passo:
\frac{3}{2}\times1,38=2,07, \qquad 2,07\times300=621,
portanto
\overline{E_{k1}}\approx6,21\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
A metade disso é
\overline{E_{k2}}\approx3,11\times10^{-21}\\ \mathrm{J},
confirmando numericamente que a energia média é reduzida à metade.

Passo 5

Comentário adicional útil para a prova: a velocidade quadrática média (ou velocidade rms) das moléculas está ligada à energia média por
\overline{E_k}=\tfrac{1}{2}m\overline{v^2},
onde m é a massa de uma molécula e \overline{v^2} é a média dos quadrados das velocidades. Como \overline{E_k}\propto T, segue que \overline{v^2}\propto T e, portanto, a velocidade rms v_{\text{rms}}=\sqrt{\overline{v^2}} varia como \sqrt{T}. Assim, se T é reduzida à metade, v_{\text{rms}} é reduzida por um fator \dfrac{1}{\sqrt{2}} (aprox. 0,707 vezes).

Passo 6

Interpretação física e dica para a prova: em Kelvin, a temperatura é proporcional à energia térmica por grau de liberdade. Portanto qualquer mudança percentual em T implica a mesma mudança percentual em \overline{E_k}. Na prova, ao ver perguntas sobre “metade da temperatura em Kelvin”, pense imediatamente: “metade da energia média”.

Resposta

A energia cinética média das moléculas reduz-se à metade.

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