2 - Determine (a) a capacitância de um capacitor esférico formado por um par de esferas condutoras de raios R_{2} e R_{1}\left(R_{2}>R_{1}\right) com cargas -Q e +Q, respectivamente. (b) Se tomarmos R_{2} \rightarrow \infty, teremos a capacitância de uma esfera de raio R_{1}. Nesse limite, (b) determine a capacitância C da esfera e (c) a energia U armazenada em todo o espaço.
Passo 1
O enunciado dá um par de esferas condutoras concêntricas (um capacitor esférico) com raios R_{1} e R_{2}, sendo R_{2}>R_{1}. As cargas são +Q na esfera interior de raio R_{1} e -Q na esfera exterior de raio R_{2}.
As perguntas são:
(a) determinar a capacitância C desse capacitor esférico (função de R_{1}, R_{2} e \varepsilon_0);
(b) tomar o limite R_{2}\rightarrow\infty e encontrar a capacitância da esfera isolada de raio R_{1};
(c) nesse mesmo limite R_{2}\rightarrow\infty, determinar a energia U armazenada em todo o espaço.
Passo 2
Escolha do método e fórmulas úteis (explicadas de forma simples):
Capacitância é definida por C=\dfrac{Q}{\Delta V}, onde \Delta V é a diferença de potencial entre as duas placas (aqui: entre as duas esferas). Vou usar essa definição diretamente.
Explicação: capacitância mede quanto de carga é necessário para produzir uma certa diferença de potencial; por isso C=Q/\Delta V.
Para achar \Delta V preciso do campo elétrico \mathbf{E} entre as esferas. Uso a Lei de Gauss: para uma superfície gaussiana esférica de raio r (com R_{1}<r<R_{2}), a carga contida é +Q, então\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.Como por simetria \mathbf{E} é radial e constante em norma na superfície esférica, isso dá E(4\pi r^2)=Q/\varepsilon_0, logoE(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2},\qquad R_{1}<r<R_{2}.Observação: dentro do metal (r<R1) e no condutor externo (r<R2, dentro do metal) o campo é zero; fora da esfera externa (r>R2) o campo total é nulo porque cargas +Q e -Q se cancelam.
Diferença de potencial entre as esferas é obtida integrando o campo:\Delta V = V(R_{1})-V(R_{2}) = -\int_{R_{2}}^{R_{1}} E(r)\,dr.(Explicação do sinal: o potencial decresce na direção do campo; integrar de R_2 para R_1 com o menos dá a diferença buscada.)
Energia armazenada no campo elétrico pode ser calculada pela densidade de energiau(r)=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2(r),e integrando sobre todo o espaço onde E\neq0 obtém-se a energia total:U=\int \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\,dV.Observação: alternativamente U=\dfrac{Q^2}{2C} ou U=\tfrac{1}{2}C(\Delta V)^2; vou mostrar equivalência.
Passo 3
Calcular o campo elétrico entre as esferas com Gauss (detalhado):
Faça uma superfície esférica de raio r tal que R_{1}<r<R_{2}. A carga incluída é Q_{\text{enc}}=+Q.
Pela Lei de Gauss:E(r)\,4\pi r^2=\frac{Q}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}.
Conclusão prática: o campo existe apenas na região R_{1}<r<R_{2} e tem a forma de um campo de carga pontual Q situada no centro, decaindo como 1/r^2.
Passo 4
Calcular a diferença de potencial \Delta V=V(R_{1})-V(R_{2}) integrando E:
Escreve a integral:\Delta V = -\int_{R_{2}}^{R_{1}} E(r)\,dr = -\int_{R_{2}}^{R_{1}} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}\,dr.
Efetua a integral (mostrando passo a passo):-\int_{R_{2}}^{R_{1}} \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\, r^{-2}\,dr = -\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left[ -\frac{1}{r}\right]_{R_{2}}^{R_{1}} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right).
Logo\Delta V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right).
Passo 5
Obter a capacitância C=\dfrac{Q}{\Delta V} e simplificar:
Simplificando a fração interna:\frac{1}{\dfrac{1}{R_{1}}-\dfrac{1}{R_{2}}} =\frac{1}{\dfrac{R_{2}-R_{1}}{R_{1}R_{2}}} =\frac{R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}}.
Portanto a capacitância do capacitor esférico éC = 4\pi\varepsilon_0\,\frac{R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}}.(Interpretação rápida: quando R_2 está bem próximo de R_1, C cresce muito; se R_2 aumenta muito, C tende a 4\pi\varepsilon_0 R_1.)
Passo 6
Fazer o limite R_{2}\rightarrow\infty para obter a capacitância da esfera isolada:
Quando R_{2}\rightarrow\infty, \dfrac{R_{2}}{R_{2}-R_{1}}\rightarrow 1. LogoC_{\text{esfera isolada}} = 4\pi\varepsilon_0 R_{1}.(Interpretação: essa é a capacitância de uma esfera isolada em relação ao potencial zero no infinito.)
Passo 7
Calcular a energia total armazenada no campo (antes e depois do limite), usando a densidade de energia:
Densidade de energia: u(r)=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2(r). Como E\neq0 apenas para R_{1}<r<R_{2}, a energia total éU=\int_{R_{1}}^{R_{2}} \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2(r)\,4\pi r^2\,dr.
Verificação alternativa (mostrando que é consistente): usando C encontrado em Passo 5,\frac{Q^2}{2C} = \frac{Q^2}{2\cdot 4\pi\varepsilon_0 \dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}}} =\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{R_{2}-R_{1}}{R_{1}R_{2}} =\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right),que coincide com o resultado por integração (boa notícia: consistência).
Agora o limite R_{2}\rightarrow\infty: o termo 1/R_{2}\rightarrow 0, entãoU_{\text{esfera isolada}}=\lim_{R_{2}\to\infty} U =\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{R_{1}}.
Também se quiser em função de C e V: com C=4\pi\varepsilon_0 R_{1} e V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R_{1}} (potencial relativo ao infinito),U=\tfrac{1}{2}Q V = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R_{1}} = \frac{1}{2} C V^2,tudo consistente.
Resposta
(a) C = 4\pi\varepsilon_0\,\dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}}