Encontre y^{\prime} nos seguintes casos
x^{2} e^{y}+2 x y e^{x}+13=0

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x^{2}e^{y} \;+\; 2x y e^{x} \;+\; 13 \;=\; 0
e pede a derivada \displaystyle y'=\frac{dy}{dx}.
Conteúdo: derivação implícita e uso da regra do produto e da cadeia.

Passo 2

Derivamos termo a termo em relação a x. Para x^{2}e^{y} usamos a regra do produto entre x^{2} e e^{y}:
a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de e^{y} é e^{y}y'. Logo
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}e^{y}\bigr) =2x\,e^{y}+x^{2}\,e^{y}\,y'\,.

Passo 3

Para 2x\,y\,e^{x} considere o produto de f(x)=2x\,y e g(x)=e^{x}.
Primeiro f'(x)=2y+2x\,y'. Segundo g'(x)=e^{x}.
Assim
\frac{d}{dx}\bigl(2x\,y\,e^{x}\bigr) =(2y+2x\,y')\,e^{x}+(2x\,y)\,e^{x} =2y\,e^{x}+2x\,y'\,e^{x}+2x\,y\,e^{x}\,.

Passo 4

Derivada de 13 é 0. Somando tudo e igualando a zero:
2x\,e^{y}+x^{2}e^{y}y' \;+\;2y\,e^{x}+2x\,y'\,e^{x}+2x\,y\,e^{x} \;=\;0.
Agrupando os termos com y':
\bigl(x^{2}e^{y}+2x\,e^{x}\bigr)y' \;+\;\bigl(2x\,e^{y}+2y\,e^{x}+2x\,y\,e^{x}\bigr) =0.
Isolando y':
y' =-\frac{2x\,e^{y}+2y\,e^{x}+2x\,y\,e^{x}}{x^{2}e^{y}+2x\,e^{x}}.

Resposta

y'=-\frac{2x\,e^{y}+2y\,e^{x}+2x\,y\,e^{x}}{x^{2}e^{y}+2x\,e^{x}}.

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