Encontre a primitiva (antiderivada) mais geral de cada função dada abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a primitiva (antiderivada) mais geral da função
.
Informações dadas: a função está escrita como uma fração com numerador e denominador
. A primitiva pedida é uma função
tal que
. Não foi especificado domínio, então devemos observar as restrições implícitas pelos termos: a presença de
e da divisão por
restringe o domínio real a
.
Informações dadas: a função está escrita como uma fração com numerador
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão algébrica para facilitar a integração. Use que
e faça a divisão termo a termo por
:
Agora simplificamos as potências lembrando que ao dividir potências de mesma base subtrai-se os expoentes:
Portanto, a função fica
Passo 3
Escrevemos a primitiva como soma de primitividades termo a termo (a integral é linear):
A estratégia é aplicar a regra da potência para cada termo.
Passo 4
Regra da potência para integrais (a ferramenta principal aqui): para qualquer número real
,
onde
é a variável de integração,
é o expoente e
é a constante de integração. Essa fórmula vem da inversa da regra de derivação das potências.
Passo 5
Aplicamos a regra ao primeiro termo com
:
Expliquei: substituí
na fórmula e calculei
.
Passo 6
Agora o segundo termo. Primeiro integramos
usando a regra com
. Então
, e
Multiplicando pelo fator
que estava fora da integral, obtemos
Lembre que
.
Passo 7
Somando as duas parcelas da primitiva e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva mais geral:
Escrevendo com raiz:
Essa primitiva é válida no domínio
(onde a função original está definida). Podemos verificar rapidamente: derivando
volta-se a
: