Encontre a primitiva (antiderivada) mais geral de cada função dada abaixo:
f(x)=\frac{x^{3}-2 \sqrt{x}}{x};

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a primitiva (antiderivada) mais geral da função \displaystyle f(x)=\frac{x^{3}-2 \sqrt{x}}{x}.
Informações dadas: a função está escrita como uma fração com numerador \displaystyle x^{3}-2\sqrt{x} e denominador \displaystyle x. A primitiva pedida é uma função F(x) tal que F'(x)=f(x). Não foi especificado domínio, então devemos observar as restrições implícitas pelos termos: a presença de \sqrt{x} e da divisão por \,x restringe o domínio real a \,x>0.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão algébrica para facilitar a integração. Use que \displaystyle \sqrt{x}=x^{1/2} e faça a divisão termo a termo por \,x:
\frac{x^{3}-2\sqrt{x}}{x}=\frac{x^{3}}{x}-2\frac{x^{1/2}}{x}.
Agora simplificamos as potências lembrando que ao dividir potências de mesma base subtrai-se os expoentes:
\frac{x^{3}}{x}=x^{3-1}=x^{2}, \qquad \frac{x^{1/2}}{x}=x^{1/2-1}=x^{-1/2}.
Portanto, a função fica
f(x)=x^{2}-2x^{-1/2}.

Passo 3

Escrevemos a primitiva como soma de primitividades termo a termo (a integral é linear):
\int f(x)\,dx=\int\bigl(x^{2}-2x^{-1/2}\bigr)\,dx =\int x^{2}\,dx-2\int x^{-1/2}\,dx.
A estratégia é aplicar a regra da potência para cada termo.

Passo 4

Regra da potência para integrais (a ferramenta principal aqui): para qualquer número real \,n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde x é a variável de integração, n é o expoente e C é a constante de integração. Essa fórmula vem da inversa da regra de derivação das potências.

Passo 5

Aplicamos a regra ao primeiro termo com n=2:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{x^{3}}{3}.
Expliquei: substituí n=2 na fórmula e calculei n+1=3.

Passo 6

Agora o segundo termo. Primeiro integramos \int x^{-1/2}\,dx usando a regra com n=-\tfrac{1}{2}. Então n+1=-\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{1}{2}, e
\int x^{-1/2}\,dx=\frac{x^{1/2}}{1/2}=2x^{1/2}.
Multiplicando pelo fator -2 que estava fora da integral, obtemos
-2\int x^{-1/2}\,dx=-2\cdot 2x^{1/2}=-4x^{1/2}.
Lembre que x^{1/2}=\sqrt{x}.

Passo 7

Somando as duas parcelas da primitiva e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva mais geral:
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-4x^{1/2}+C.
Escrevendo com raiz:
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-4\sqrt{x}+C.
Essa primitiva é válida no domínio \,x>0 (onde a função original está definida). Podemos verificar rapidamente: derivando F(x) volta-se a f(x):
F'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right)-4\frac{d}{dx}\!\left(x^{1/2}\right)=x^{2}-4\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=x^{2}-2x^{-1/2}=f(x).

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{3}-4\sqrt{x}+C

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