Encontre f, sabendo que:
f^{\prime \prime}(t)=t+\frac{1}{t^{3}}, t>0, f(1)=6;

Passo 1

O enunciado dá a segunda derivada de uma função f e uma condição em um ponto:
f''(t)=t+\frac{1}{t^{3}},\quad t>0,
e informa o valor de f em t=1:
f(1)=6.
O que se pede: encontrar (a família de) funções f que satisfazem essa igualdade para t>0 e a condição dada em t=1.

Passo 2

Estratégia: para obter f a partir de f'' precisamos integrar duas vezes. Vou lembrar a regra básica de antiderivadas que usarei aqui:
  • Regra do poder: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
  • Constantes de integração aparecem a cada integração indefinida: ao integrar f'' surge uma constante C_1 em f', e ao integrar f' surge outra constante C_2 em f.
Como t>0, não temos problema com a integração de potências negativas (a integral de t^{-3} é uma potência diferente de -1, logo válida pela regra do poder).

Passo 3

Integro f''(t)=t+t^{-3} uma vez para obter f'(t).
Aplicando a regra do poder termo a termo:
\int t\,dt=\frac{t^{2}}{2}, \qquad \int t^{-3}\,dt=\int t^{(-3)}\,dt=\frac{t^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2t^{2}}.
Somando e incluindo a constante de integração C_{1}, obtemos
f'(t)=\frac{t^{2}}{2}-\frac{1}{2t^{2}}+C_{1}.

Passo 4

Agora integro f'(t) para obter f(t).
Integro termo a termo novamente:
  • Para \dfrac{t^{2}}{2}:
\int \frac{t^{2}}{2}\,dt=\frac{1}{2}\cdot\frac{t^{3}}{3}=\frac{t^{3}}{6}.
  • Para -\dfrac{1}{2t^{2}}=-\dfrac{1}{2}t^{-2}:
\int -\frac{1}{2}t^{-2}\,dt=-\frac{1}{2}\cdot\frac{t^{-1}}{-1}=\frac{1}{2}t^{-1}=\frac{1}{2t}.
  • Para C_{1}:
\int C_{1}\,dt=C_{1}t.
Somando e adicionando a constante de integração final C_{2}, obtemos a família geral
f(t)=\frac{t^{3}}{6}+\frac{1}{2t}+C_{1}t+C_{2}.

Passo 5

Agora uso a condição f(1)=6 para obter uma relação entre C_{1} e C_{2}.
Calculo f(1) substituindo t=1 na expressão geral:
f(1)=\frac{1^{3}}{6}+\frac{1}{2\cdot 1}+C_{1}\cdot 1+C_{2} =\frac{1}{6}+\frac{1}{2}+C_{1}+C_{2}.
Somando \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{6}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}, temos
f(1)=\frac{2}{3}+C_{1}+C_{2}.
Como f(1)=6, segue
\frac{2}{3}+C_{1}+C_{2}=6 \quad\Longrightarrow\quad C_{1}+C_{2}=6-\frac{2}{3}=\frac{16}{3}.

Passo 6

Conclusão prática: não há informação suficiente para determinar ambos C_{1} e C_{2} separadamente — só a soma C_{1}+C_{2} é fixada pela condição f(1)=6. Portanto a família de soluções é parametrizada por uma constante livre (por exemplo C_{1}), com C_{2} dada por C_{2}=\dfrac{16}{3}-C_{1}.
Uma forma conveniente de escrever a solução final é deixar as constantes explícitas e indicar a relação obtida.

Resposta

f(t)=\frac{t^{3}}{6}+\frac{1}{2t}+C_{1}t+C_{2}
C_{1}+C_{2}=\frac{16}{3}

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