Encontre
, sabendo que:
;
Passo 1
O enunciado dá a segunda derivada de uma função
e uma condição em um ponto:
e informa o valor de
em
:
O que se pede: encontrar (a família de) funções
que satisfazem essa igualdade para
e a condição dada em
.
Passo 2
Estratégia: para obter
a partir de
precisamos integrar duas vezes. Vou lembrar a regra básica de antiderivadas que usarei aqui:
- Regra do poder: para
,
- Constantes de integração aparecem a cada integração indefinida: ao integrar
surge uma constante em , e ao integrar surge outra constante em .
Como
, não temos problema com a integração de potências negativas (a integral de
é uma potência diferente de
, logo válida pela regra do poder).
Passo 3
Integro
uma vez para obter
.
Aplicando a regra do poder termo a termo:
Somando e incluindo a constante de integração
, obtemos
Passo 4
Agora integro
para obter
.
Integro termo a termo novamente:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Somando e adicionando a constante de integração final
, obtemos a família geral
Passo 5
Agora uso a condição
para obter uma relação entre
e
.
Calculo
substituindo
na expressão geral:
Somando
, temos
Como
, segue
Passo 6
Conclusão prática: não há informação suficiente para determinar ambos
e
separadamente — só a soma
é fixada pela condição
. Portanto a família de soluções é parametrizada por uma constante livre (por exemplo
), com
dada por
.
Uma forma conveniente de escrever a solução final é deixar as constantes explícitas e indicar a relação obtida.