(3.0) Uma placa fina de densidade constante cobre a região dentro de r=1+\cos \theta e fora de r=2-\cos \theta. Encontre o centroide da placa.
Passo 1
O enunciado pede o centroide (centro de massa) de uma placa fina de densidade constante que ocupa a região que é “dentro de” r=1+\cos\theta e “fora de” r=2-\cos\theta. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
As curvas que delimitam são r=1+\cos\theta e r=2-\cos\theta.
A densidade é constante (podemos tratá-la como 1, porque cancela nas razões para o centroide).
Queremos as coordenadas do centroide (\bar{x},\bar{y}) da placa.
Passo 2
Vamos usar coordenadas polares para descrever a região e as fórmulas do centroide em polares. Vou te lembrar e explicar as fórmulas com calma:
A área elementar em polares é \mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta. Se a densidade superficial é constante (digamos \sigma=1), então:
A integral em r dá \int r^2\,\mathrm{d}r=\tfrac{1}{3}r^3, logo os numeradores ficam envolvendo \tfrac{1}{3}\big(r_{\text{outer}}^3-r_{\text{inner}}^3\big) multiplicados por \cos\theta ou \sin\theta.
Vou aplicar isso à região dada — primeiro preciso determinar para que valores de \theta existe a faixa radial entre as duas curvas (ou seja, encontrar os limites em \theta e qual é o raio interno e externo).
Passo 3
Precisamos achar as interseções das curvas para saber o intervalo em \theta. Igualando
A interpretação geométrica: apenas para \theta entre -\tfrac{\pi}{3} e \tfrac{\pi}{3} temos r_{\text{outer}}=1+\cos\theta maior ou igual a r_{\text{inner}}=2-\cos\theta, de modo que existe uma faixa radial válida 2-\cos\theta\le r\le 1+\cos\theta. Portanto os limites em \theta são -\tfrac{\pi}{3} a \tfrac{\pi}{3}.
Passo 4
Agora monto as integrais explicitamente. O intervalo em \theta é \left[-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\right] e, para cada \theta nesse intervalo, o raio varia entre
Antes de integrar, nota importante de simetria: a região é simétrica em relação ao eixo x (trocar \theta por -\theta mantém a região), portanto a coordenada y do centroide deve ser zero:
\bar{y}=0.
Então precisamos só calcular A e N_x.
Passo 5
Calcule A. Primeiro simplifico o integrando:
(1+\cos\theta)^2-(2-\cos\theta)^2=-3+6\cos\theta.
Explicação rápida dessa álgebra: expandindo os quadrados e simplificando os termos em \cos^2\theta eles se cancelam, sobrando termos constantes e em \cos\theta.