(3.0) Uma placa fina de densidade constante cobre a região dentro de r=1+\cos \theta e fora de r=2-\cos \theta. Encontre o centroide da placa.

Passo 1

O enunciado pede o centroide (centro de massa) de uma placa fina de densidade constante que ocupa a região que é “dentro de” r=1+\cos\theta e “fora de” r=2-\cos\theta. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As curvas que delimitam são r=1+\cos\theta e r=2-\cos\theta.
  • A densidade é constante (podemos tratá-la como 1, porque cancela nas razões para o centroide).
  • Queremos as coordenadas do centroide (\bar{x},\bar{y}) da placa.

Passo 2

Vamos usar coordenadas polares para descrever a região e as fórmulas do centroide em polares. Vou te lembrar e explicar as fórmulas com calma:
A área elementar em polares é \mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta. Se a densidade superficial é constante (digamos \sigma=1), então:
A=\iint_{\text{região}} \mathrm{d}A=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{r_{\text{inner}}(\theta)}^{r_{\text{outer}}(\theta)} r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.ã
Isso se simplifica usando a integral em r:
A=\frac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\big(r_{\text{outer}}(\theta)^2-r_{\text{inner}}(\theta)^2\big)\,\mathrm{d}\theta.
As coordenadas do centroide são dadas por
\bar{x}=\frac{1}{A}\iint x\,\mathrm{d}A=\frac{1}{A}\iint r\cos\theta\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta=\frac{1}{A}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\cos\theta\int_{r_{\text{inner}}}^{r_{\text{outer}}} r^2\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta,
\bar{y}=\frac{1}{A}\iint y\,\mathrm{d}A=\frac{1}{A}\iint r\sin\theta\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta=\frac{1}{A}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sin\theta\int_{r_{\text{inner}}}^{r_{\text{outer}}} r^2\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
A integral em r \int r^2\,\mathrm{d}r=\tfrac{1}{3}r^3, logo os numeradores ficam envolvendo \tfrac{1}{3}\big(r_{\text{outer}}^3-r_{\text{inner}}^3\big) multiplicados por \cos\theta ou \sin\theta.
Vou aplicar isso à região dada — primeiro preciso determinar para que valores de \theta existe a faixa radial entre as duas curvas (ou seja, encontrar os limites em \theta e qual é o raio interno e externo).

Passo 3

Precisamos achar as interseções das curvas para saber o intervalo em \theta. Igualando
1+\cos\theta = 2-\cos\theta
obtemos
2\cos\theta = 1 \quad\Rightarrow\quad \cos\theta=\tfrac{1}{2}.
As soluções no intervalo principal são
\theta = \pm \tfrac{\pi}{3}.
A interpretação geométrica: apenas para \theta entre -\tfrac{\pi}{3} e \tfrac{\pi}{3} temos r_{\text{outer}}=1+\cos\theta maior ou igual a r_{\text{inner}}=2-\cos\theta, de modo que existe uma faixa radial válida 2-\cos\theta\le r\le 1+\cos\theta. Portanto os limites em \theta são -\tfrac{\pi}{3} a \tfrac{\pi}{3}.

Passo 4

Agora monto as integrais explicitamente. O intervalo em \theta é \left[-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\right] e, para cada \theta nesse intervalo, o raio varia entre
r_{\text{inner}}(\theta)=2-\cos\theta,\qquad r_{\text{outer}}(\theta)=1+\cos\theta.
A área é
A=\frac{1}{2}\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\Big((1+\cos\theta)^2-(2-\cos\theta)^2\Big)\,\mathrm{d}\theta.
O numerador para \bar{x} é
N_x=\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos\theta\cdot\frac{1}{3}\Big((1+\cos\theta)^3-(2-\cos\theta)^3\Big)\,\mathrm{d}\theta.
O numerador para \bar{y} é
N_y=\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\sin\theta\cdot\frac{1}{3}\Big((1+\cos\theta)^3-(2-\cos\theta)^3\Big)\,\mathrm{d}\theta.
E então \bar{x}=N_x/A, \bar{y}=N_y/A.
Antes de integrar, nota importante de simetria: a região é simétrica em relação ao eixo x (trocar \theta por -\theta mantém a região), portanto a coordenada y do centroide deve ser zero:
\bar{y}=0.
Então precisamos só calcular A e N_x.

Passo 5

Calcule A. Primeiro simplifico o integrando:
(1+\cos\theta)^2-(2-\cos\theta)^2=-3+6\cos\theta.
Explicação rápida dessa álgebra: expandindo os quadrados e simplificando os termos em \cos^2\theta eles se cancelam, sobrando termos constantes e em \cos\theta.
Assim
A=\frac{1}{2}\int_{-\pi/3}^{\pi/3}(-3+6\cos\theta)\,\mathrm{d}\theta.
Faço as integrais (mostrar passo a passo):
\int_{-\pi/3}^{\pi/3}-3\,\mathrm{d}\theta=-3\cdot\left( \tfrac{2\pi}{3}\right)=-2\pi,
\int_{-\pi/3}^{\pi/3}6\cos\theta\,\mathrm{d}\theta=6\cdot\big(2\sin(\tfrac{\pi}{3})\big)=12\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}.
Somando e multiplicando por \tfrac{1}{2} vem
A=\tfrac{1}{2}\big(-2\pi+6\sqrt{3}\big)=-\pi+3\sqrt{3}.
Portanto
A=3\sqrt{3}-\pi.

Passo 6

Agora calculo N_x. Primeiro simplifico a diferença de cubos no integrando. Com u=\cos\theta,
(1+u)^3-(2-u)^3=-7+15u-3u^2+2u^3.
Logo
N_x=\frac{1}{3}\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\big(-7\cos\theta+15\cos^2\theta-3\cos^3\theta+2\cos^4\theta\big)\,\mathrm{d}\theta.
Observe que cada termo da integranda é função par de \theta (potências de \cos são pares), então posso duplicar a integral de 0 a \pi/3:
N_x=\frac{2}{3}\int_{0}^{\pi/3}\big(-7\cos\theta+15\cos^2\theta-3\cos^3\theta+2\cos^4\theta\big)\,\mathrm{d}\theta.
Vou calcular cada integral básica entre 0 e \tfrac{\pi}{3}. Anoto as fórmulas úteis e aplico:
  1. \displaystyle \int_{0}^{\pi/3}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta=\sin\theta\Big|_{0}^{\pi/3}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  2. Para \cos^2\theta uso a identidade \cos^2\theta=\tfrac{1+\cos2\theta}{2}, então
\int_{0}^{\pi/3}\cos^2\theta\,\mathrm{d}\theta=\frac{\theta}{2}+\frac{\sin2\theta}{4}\Big|_{0}^{\pi/3}=\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{8}.
  1. Para \cos^3\theta uso a identidade de redução \cos^3\theta=\tfrac{3\cos\theta+\cos3\theta}{4}, então
\int_{0}^{\pi/3}\cos^3\theta\,\mathrm{d}\theta=\frac{3}{4}\sin\theta+\frac{1}{12}\sin3\theta\Big|_{0}^{\pi/3}=\frac{3}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{8}.
  1. Para \cos^4\theta uso \cos^4\theta=\tfrac{3+4\cos2\theta+\cos4\theta}{8}, daí
\int_{0}^{\pi/3}\cos^4\theta\,\mathrm{d}\theta=\frac{3\theta}{8}+\frac{\sin2\theta}{4}+\frac{\sin4\theta}{32}\Big|_{0}^{\pi/3}=\frac{\pi}{8}+\frac{7\sqrt{3}}{64}.
Agora monto a combinação linear:
\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/3}\big(&-7\cos\theta+15\cos^2\theta-3\cos^3\theta+2\cos^4\theta\big)\,\mathrm{d}\theta\\\ &= -7\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+15\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{8}\right)-3\cdot\frac{3\sqrt{3}}{8}+2\left(\frac{\pi}{8}+\frac{7\sqrt{3}}{64}\right). \end{aligned}
Faço a soma dos termos em \pi e em \sqrt{3} separadamente. O resultado simplificado é
\int_{0}^{\pi/3}\big(\cdots\big)\,\mathrm{d}\theta=\frac{11\pi}{4}-\frac{81\sqrt{3}}{32}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{2}{3} vem
N_x=\frac{2}{3}\left(\frac{11\pi}{4}-\frac{81\sqrt{3}}{32}\right)=\frac{11\pi}{6}-\frac{27\sqrt{3}}{16}.

Passo 7

Já temos A=3\sqrt{3}-\pi e N_x=\dfrac{11\pi}{6}-\dfrac{27\sqrt{3}}{16}. Como discutido por simetria \bar{y}=0. Portanto
\bar{x}=\frac{N_x}{A}=\frac{\dfrac{11\pi}{6}-\dfrac{27\sqrt{3}}{16}}{3\sqrt{3}-\pi}.
Podemos deixar nessa forma exata ou calcular uma aproximação numérica rápida para conferir a razão:
\bar{x}\approx\frac{2{,}8368}{2{,}0545}\approx 1{,}382,
ou seja, \bar{x}\approx 1{,}382 e \bar{y}=0.

Resposta

\displaystyle \bar{x}=\frac{\dfrac{11\pi}{6}-\dfrac{27\sqrt{3}}{16}}{3\sqrt{3}-\pi}
\displaystyle \bar{y}=0

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