Encontre uma primitiva de: f(x)=x(2-x)^3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva de f(x)=x(2-x)^3. O conteúdo aqui é integração de um produto envolvendo uma função polinomial elevada a uma potência, e vamos usar o método de substituição para simplificar.

Passo 2

Fazemos a substituição u=2-x. Então du=-dx, ou seja dx=-du, e também x=2-u. Reescrevendo a integral em termos de u:
integral x(2-x)^3,dx = integral (2-u),u^3,(-du) = -integral l(2u^3 - u^4r),du

Passo 3

Integramos termo a termo:
-integral l(2u^3 - u^4r),du = -l(2u^44 - u^55r) + C = -l(u^42 - u^55r) + C Voltando à variável x através de u=2-x, obtemos a primitiva:
F(x) = -(2-x)^42 + (2-x)^55 + C

Resposta

F(x)=-tfrac(2-x)^42+tfrac(2-x)^55+C

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