(a) Determine a soma de Riemann para uma partição regular de n subintervalos.

Passo 1

Beleza! A gente vai lá entender o que é a soma de Riemann para uma partição regular com n subintervalos. A matéria aqui é de Cálculo, mais especificamente sobre somas de Riemann, que ajudam a aproximar a área sob uma curva. Para resolver isso, vamos precisar entender como dividir o intervalo em subintervalos iguais e como somar as áreas dos retângulos formados.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o intervalo onde vamos calcular a área. Vamos chamar esse intervalo de [a, b]. Uma partição regular significa que vamos dividir esse intervalo em n partes iguais. Para isso, calculamos a largura de cada subintervalo, que é:
De
Isso nos dá o tamanho de cada pequeno “retângulo” que vamos usar para somar as áreas.

Passo 3

Agora, precisamos determinar os pontos onde vamos avaliar a função dentro de cada subintervalo. Esses pontos podem ser os extremos ou algum ponto dentro do subintervalo, como o ponto médio. Vamos chamar o ponto de avaliação no i-ésimo subintervalo de xi^*.
Então, os pontos finais de cada subintervalo são:
xi = a + i De
E o ponto de avaliação pode ser, por exemplo, o ponto esquerdo, direito ou médio:
  • Ponto esquerdo: xi-1
  • Ponto direito: xi
  • Ponto médio: xi-1 + xi2

Passo 4

A soma de Riemann é a soma das áreas desses retângulos formados pela função avaliada nos pontos escolhidos multiplicada pela largura De. A fórmula geral da soma de Riemann para uma partição regular com n subintervalos é:
Sn = sumi=1^n f(xi^*) De
Onde:
  • Sn é a soma de Riemann
  • f(xi^*) é o valor da função no ponto de avaliação do i-ésimo subintervalo
  • De é a largura de cada subintervalo

Passo 5

Para deixar tudo bem claro, vamos resumir:
  1. Dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais, com largura De.
  2. Escolhemos um ponto de avaliação xi^* em cada subintervalo.
  3. Calculamos f(xi^*) para cada ponto escolhido.
  4. Multiplicamos cada f(xi^*) pela largura De.
  5. Somamos todos esses produtos para obter a soma de Riemann Sn.
Isso nos dá uma aproximação da área sob a curva f(x) no intervalo [a, b].

Resposta

A soma de Riemann para uma partição regular de n subintervalos é dada por:
Sn = sumi=1^n f(xi^*) cdot b - an
Onde De é a largura de cada subintervalo e xi^* é o ponto de avaliação no i-ésimo subintervalo.

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