(a) Determine a soma de Riemann para uma partição regular de
subintervalos.
Passo 1
Beleza! A gente vai lá entender o que é a soma de Riemann para uma partição regular com
subintervalos. A matéria aqui é de Cálculo, mais especificamente sobre somas de Riemann, que ajudam a aproximar a área sob uma curva. Para resolver isso, vamos precisar entender como dividir o intervalo em subintervalos iguais e como somar as áreas dos retângulos formados.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o intervalo onde vamos calcular a área. Vamos chamar esse intervalo de
. Uma partição regular significa que vamos dividir esse intervalo em
partes iguais. Para isso, calculamos a largura de cada subintervalo, que é:
Isso nos dá o tamanho de cada pequeno “retângulo” que vamos usar para somar as áreas.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os pontos onde vamos avaliar a função dentro de cada subintervalo. Esses pontos podem ser os extremos ou algum ponto dentro do subintervalo, como o ponto médio. Vamos chamar o ponto de avaliação no
-ésimo subintervalo de
.
Então, os pontos finais de cada subintervalo são:
E o ponto de avaliação pode ser, por exemplo, o ponto esquerdo, direito ou médio:
- Ponto esquerdo:
- Ponto direito:
- Ponto médio:
Passo 4
A soma de Riemann é a soma das áreas desses retângulos formados pela função avaliada nos pontos escolhidos multiplicada pela largura
. A fórmula geral da soma de Riemann para uma partição regular com
subintervalos é:
Onde:
-
é a soma de Riemann -
é o valor da função no ponto de avaliação do -ésimo subintervalo -
é a largura de cada subintervalo
Passo 5
Para deixar tudo bem claro, vamos resumir:
- Dividimos o intervalo
em subintervalos iguais, com largura . - Escolhemos um ponto de avaliação
em cada subintervalo. - Calculamos
para cada ponto escolhido. - Multiplicamos cada
pela largura . - Somamos todos esses produtos para obter a soma de Riemann
.
Isso nos dá uma aproximação da área sob a curva
no intervalo
.
Resposta
A soma de Riemann para uma partição regular de
subintervalos é dada por:
Onde
é a largura de cada subintervalo e
é o ponto de avaliação no
-ésimo subintervalo.