Sem utilizar derivada, calcule cada limite, se existir, ou determine seu comportamento.
Justifique sua resposta.
lim x -infty raizx^2+7 x+10x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite , xto-infty da expressão , raizx^2+7x+10x. O conteúdo é cálculo de limites envolvendo raízes quadradas e formas indeterminadas do tipo infty-infty. Vamos precisar usar manipulação algébrica e a propriedade de raizx^2=|x|.

Passo 2

Primeiro, observamos que para xto-infty o termo x^2 domina o radicando, garantindo que x^2+7x+10>0 e que a raiz está bem definida.

Passo 3

Fatoramos x^2 dentro da raiz:
raizx^2+7x+10 = raizx^2l(1+7x+10x^2r)

Passo 4

Em seguida, usamos a propriedade raizx^2=|x|. Como xto-infty, temos |x|=-x. Logo:
raizx^2+7x+10 = -x,raiz1+7x+10x^2

Passo 5

Substituindo no quociente original:
raizx^2+7x+10x = -x,raiz1+7x+10x^2x = -raiz1+7x+10x^2

Passo 6

Por fim, tomamos xto-infty. Como 7xto0 e 10x^2to0, a expressão dentro da raiz tende a 1, e portanto a raiz tende a 1. Assim o limite é -1.

Resposta

-1

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