Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a primitiva mais geral (ou seja, a antiderivada com constante de integração) da função
e verificar a resposta derivando. Informação dada: a função está explicitamente dada por
. Não há outras condições (domínio etc.), então buscamos uma família de primitivais
tal que
.
Passo 2
Vou escolher um método simples e seguro: expandir o polinômio e integrar termo a termo. Antes de calcular, lembro duas propriedades que vou usar:
- Linearidade da integral:
, onde são constantes. - Regra da potência para integrais:
para todo . Aqui é a variável de integração e é o expoente; o é a constante de integração.
Passo 3
Expansão do fator
:
Multiplicando por
:
Passo 4
Integro termo a termo aplicando a regra da potência e a linearidade:
Somando as primitivas dos termos, uma primitiva
é
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Opcional: escrever a primitiva num só quociente comum para ver outra forma equivalente. Colocando tudo sobre
:
ou fatorando
:
Todas essas formas são equivalentes (diferenças apenas na apresentação), tem a mesma derivada.
Passo 6
Verificação derivando
. Derivo termo a termo:
Somando:
Portanto a primitiva encontrada está correta.