Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
f(x)=x(2-x)^{2}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a primitiva mais geral (ou seja, a antiderivada com constante de integração) da função \,f(x)=x(2-x)^{2}\, e verificar a resposta derivando. Informação dada: a função está explicitamente dada por \,f(x)=x(2-x)^{2}\,. Não há outras condições (domínio etc.), então buscamos uma família de primitivais F(x)+C tal que F'(x)=f(x).

Passo 2

Vou escolher um método simples e seguro: expandir o polinômio e integrar termo a termo. Antes de calcular, lembro duas propriedades que vou usar:
  • Linearidade da integral: \displaystyle \int (a g(x)+b h(x))\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx, onde a,b são constantes.
  • Regra da potência para integrais: \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para todo n\neq -1. Aqui x é a variável de integração e n é o expoente; o +C é a constante de integração.

Passo 3

Expansão do fator (2-x)^{2}:
(2-x)^{2}=4-4x+x^{2}.
Multiplicando por x:
x(2-x)^{2}=x(4-4x+x^{2})=4x-4x^{2}+x^{3}.

Passo 4

Integro termo a termo aplicando a regra da potência e a linearidade:
\int 4x\,dx = 4\cdot\frac{x^{2}}{2}=2x^{2},
\int -4x^{2}\,dx = -4\cdot\frac{x^{3}}{3}=-\frac{4}{3}x^{3},
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.
Somando as primitivas dos termos, uma primitiva F(x) é
F(x)=2x^{2}-\frac{4}{3}x^{3}+\frac{1}{4}x^{4}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Opcional: escrever a primitiva num só quociente comum para ver outra forma equivalente. Colocando tudo sobre 12:
F(x)=\frac{3x^{4}-16x^{3}+24x^{2}}{12}+C
ou fatorando x^{2}:
F(x)=\frac{x^{2}}{12}\bigl(3x^{2}-16x+24\bigr)+C.
Todas essas formas são equivalentes (diferenças apenas na apresentação), tem a mesma derivada.

Passo 6

Verificação derivando F(x). Derivo termo a termo:
\frac{d}{dx}\!\left(2x^{2}\right)=4x,\quad \frac{d}{dx}\!\left(-\frac{4}{3}x^{3}\right)=-4x^{2},\quad \frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{4}x^{4}\right)=x^{3}.
Somando:
F'(x)=4x-4x^{2}+x^{3}=x(4-4x+x^{2})=x(2-x)^{2}=f(x).
Portanto a primitiva encontrada está correta.

Resposta

2x^{2}-\dfrac{4}{3}x^{3}+\dfrac{1}{4}x^{4}+C

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