Encontre a primitiva e justifique.
\int e^{x} \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede uma antiderivada de
\int e^{x}\cos x\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos um produto entre e^{x} (exponencial) e \cos x (função trigonométrica). Vamos aplicar duas vezes a fórmula de integração por partes e depois resolver uma equação algébrica para encontrar a primitiva.

Passo 2

Defina
I = \int e^{x}\cos x\,dx.
Aplique integração por partes escolhendo
u = e^{x},\quad dv = \cos x\,dx
então
du = e^{x}\,dx,\quad v = \sin x.
Pela fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du, temos
I = e^{x}\sin x \;-\; \int e^{x}\sin x\,dx.

Passo 3

Chame
J = \int e^{x}\sin x\,dx.
Novamente por partes, com
u = e^{x},\quad dv = \sin x\,dx
temos
du = e^{x}\,dx,\quad v = -\cos x,
logo
J = -\,e^{x}\cos x \;+\; \int e^{x}\cos x\,dx = -\,e^{x}\cos x + I.

Passo 4

Voltando a
I = e^{x}\sin x - J,
substitua J:
I = e^{x}\sin x \;-\;\bigl(-e^{x}\cos x + I\bigr) = e^{x}\sin x + e^{x}\cos x - I.
Isso dá
2I = e^{x}\bigl(\sin x + \cos x\bigr) \quad\Longrightarrow\quad I = \tfrac12\,e^{x}\bigl(\sin x + \cos x\bigr) + C.

Resposta

Uma primitiva de e^{x}\cos x é
\frac{e^{x}(\sin x + \cos x)}{2} + C.

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