Encontre as primitivas abaixo, em seguida determine intervalos de integração e as integrais definidas nesses intervalos, (obs: não esqueça das constantes de integração na obtenção das primitivas e cuidado com os domínios das funções ao definir os intervalos de integração!!!)
\int \sin (2 x) \sqrt{2-\cos (2 x)} d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar as primitivas da função integranda e (2) determinar os intervalos nos quais podemos integrar e escrever as integrais definidas nesses intervalos. A integral dada é
\int \sin(2x)\,\sqrt{2-\cos(2x)}\,dx.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função integranda é x \mapsto \sin(2x)\,\sqrt{2-\cos(2x)}.
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{2-\cos(2x)}, então devemos checar o domínio onde o radicando 2-\cos(2x) é não negativo.
  • Devemos lembrar de incluir a constante de integração ao obter as primitivas.

Passo 2

Vamos simplificar a integral com uma substituição natural. Observe que a expressão dentro da raiz é 2-\cos(2x) e que a derivada de \cos(2x) envolve \sin(2x). Então fazemos a substituição
t=\cos(2x).
Agora calculamos dt usando a regra da cadeia: a derivada de \cos(2x) em relação a x é \frac{d}{dx}\cos(2x)=-2\sin(2x). Assim
dt=-2\sin(2x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin(2x)\,dx=-\tfrac{1}{2}\,dt.
Substituindo na integral original obtemos (troquei \sin(2x)\,dx por -\tfrac{1}{2}dt e \cos(2x) por t):
\int \sin(2x)\,\sqrt{2-\cos(2x)}\,dx = \int \sqrt{2-t}\left(-\tfrac{1}{2}\,dt\right) = -\tfrac{1}{2}\int (2-t)^{1/2}\,dt.

Passo 3

Agora integramos a função potência (2-t)^{1/2}. Para isso é útil fazer uma segunda substituição ou usar a fórmula direta para integrais de potências. Vou fazer w=2-t, então dw=-dt e
-\tfrac{1}{2}\int (2-t)^{1/2}\,dt = -\tfrac{1}{2}\int w^{1/2}(-dw) = \tfrac{1}{2}\int w^{1/2}\,dw.
Recorde a fórmula básica de integração: para n\neq -1,
\int w^n\,dw = \frac{w^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int w^{1/2}\,dw = \frac{w^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}w^{3/2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que estava fora:
\tfrac{1}{2}\int w^{1/2}\,dw = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}w^{3/2} = \tfrac{1}{3}w^{3/2}.

Passo 4

Voltando às variáveis originais: w=2-t e t=\cos(2x), portanto w=2-\cos(2x). Assim uma primitiva da integranda é
F(x)=\tfrac{1}{3}\bigl(2-\cos(2x)\bigr)^{3/2}+C,
onde C é a constante de integração. É sempre bom checar derivando F: aplicando a regra da cadeia obtemos
F'(x)=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{3}{2}\bigl(2-\cos(2x)\bigr)^{1/2}\cdot(2\sin(2x))=\sin(2x)\bigl(2-\cos(2x)\bigr)^{1/2},
o que confirma que F é realmente uma primitiva.

Passo 5

Agora analisamos o domínio (importante por causa da raiz). O radicando é 2-\cos(2x). Como \cos(2x) varia entre -1 e 1, temos
-1\le \cos(2x)\le 1 \quad\Longrightarrow\quad 1\le 2-\cos(2x)\le 3.
Logo 2-\cos(2x) é sempre positivo (mínimo 1), portanto a raiz quadrada está bem definida e contínua para todo x\in\mathbb{R}. Conclusão: o domínio da integranda é \mathbb{R} e podemos integrar em qualquer intervalo real fechado [a,b].

Passo 6

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, para quaisquer a,b\in\mathbb{R} a integral definida é dada por
\int_{a}^{b} \sin(2x)\,\sqrt{2-\cos(2x)}\,dx = F(b)-F(a),
onde F é a primitiva encontrada. Substituindo F obtemos a fórmula fechada
\int_{a}^{b} \sin(2x)\,\sqrt{2-\cos(2x)}\,dx = \tfrac{1}{3}\Bigl(2-\cos(2b)\Bigr)^{3/2} - \tfrac{1}{3}\Bigl(2-\cos(2a)\Bigr)^{3/2}.

Resposta

\displaystyle F(x)=\tfrac{1}{3}\bigl(2-\cos(2x)\bigr)^{3/2}+C\n \displaystyle \text{Domínio: }x\in\mathbb{R}.\quad \int_{a}^{b}\sin(2x)\sqrt{2-\cos(2x)}\,dx=\tfrac{1}{3}\bigl(2-\cos(2b)\bigr)^{3/2}-\tfrac{1}{3}\bigl(2-\cos(2a)\bigr)^{3/2}í

Exercícios relacionados