Encontre as primitivas abaixo, em seguida determine intervalos de integração e as integrais definidas nesses intervalos, (obs: não esqueça das constantes de integração na obtenção das primitivas e cuidado com os domínios das funções ao definir os intervalos de integração!!!)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar as primitivas da função integranda e (2) determinar os intervalos nos quais podemos integrar e escrever as integrais definidas nesses intervalos. A integral dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função integranda é
. - Há uma raiz quadrada
, então devemos checar o domínio onde o radicando é não negativo. - Devemos lembrar de incluir a constante de integração ao obter as primitivas.
Passo 2
Vamos simplificar a integral com uma substituição natural. Observe que a expressão dentro da raiz é
e que a derivada de
envolve
. Então fazemos a substituição
Agora calculamos
usando a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
. Assim
Substituindo na integral original obtemos (troquei
por
e
por
):
Passo 3
Agora integramos a função potência
. Para isso é útil fazer uma segunda substituição ou usar a fórmula direta para integrais de potências. Vou fazer
, então
e
Recorde a fórmula básica de integração: para
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Passo 4
Voltando às variáveis originais:
e
, portanto
. Assim uma primitiva da integranda é
onde
é a constante de integração. É sempre bom checar derivando
: aplicando a regra da cadeia obtemos
o que confirma que
é realmente uma primitiva.
Passo 5
Agora analisamos o domínio (importante por causa da raiz). O radicando é
. Como
varia entre
e
, temos
Logo
é sempre positivo (mínimo
), portanto a raiz quadrada está bem definida e contínua para todo
. Conclusão: o domínio da integranda é
e podemos integrar em qualquer intervalo real fechado
.
Passo 6
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, para quaisquer
a integral definida é dada por
onde
é a primitiva encontrada. Substituindo
obtemos a fórmula fechada