Passe para a forma canônica usando complemento de quadrado. Determine o domínio e imagem.
Passo 1
O enunciado dá a função quadrática
e pede três coisas:
- Passe para a forma canônica usando complemento de quadrado.
- Determine o domínio de
. - Determine a imagem (contradomínio efetivo) de
.
Informações relevantes dadas:
(coeficientes da forma geral
).
Passo 2
O que é a forma canônica e qual é a técnica do complemento de quadrado (explicação didática)?
A forma canônica de uma quadrática é
A forma canônica de uma quadrática é
onde
é o vértice da parábola. Aqui
é o mesmo coeficiente da forma original e determina se a parábola abre para cima (
) ou para baixo (
).
Para completar o quadrado em uma expressão do tipo
fazemos:
- Colocamos
fatorando dos termos com : . - Dentro do parêntese completamos o quadrado usando a identidade
ou, em termos de
e
,
- Voltamos a multiplicar por
e simplificamos para obter a forma canônica.
Eu vou aplicar esses passos agora ao seu caso.
Passo 3
Começo fatorando
dos termos quadrático e linear:
Aqui eu usei que
.
Agora completo o quadrado dentro do parêntese usando a identidade vista:
(Verificação rápida:
; subtraindo
recuperamos
.)
Substituo isso em
:
Passo 4
Distribuo o
e simplifico as constantes:
Pronto — essa é a forma canônica. Aqui podemos identificar imediatamente o vértice:
e
, ou seja, vértice em
.
Passo 5
Domínio: expondo a ideia com calma.
Uma função polinomial (como quadrática) não tem denominadores nem raízes pares nem logaritmos que restrinjam ; portanto está definida para todo
real. Logo o domínio é
Uma função polinomial (como quadrática) não tem denominadores nem raízes pares nem logaritmos que restrinjam
Passo 6
Imagem (razão detalhada):
Da forma canônica vemos que
para todo
. Como o coeficiente
é positivo,
e o menor valor possível de
ocorre quando
, ou seja em
.
Da forma canônica
Nesse ponto o valor de
é
Portanto
para todo
, e a imagem é o intervalo
Passo 7
Dica rápida para a prova (checar com outra fórmula):
Você também pode obter o do vértice com a fórmula
Você também pode obter o
e substituir em
para achar
. Isso confirma o resultado acima e é rápido na prova.