Passe para a forma canônica usando complemento de quadrado. Determine o domínio e imagem.
f(x)=2 x^{2}+8 x-5

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática \displaystyle f(x)=2x^{2}+8x-5 e pede três coisas:
  1. Passe para a forma canônica usando complemento de quadrado.
  2. Determine o domínio de f.
  3. Determine a imagem (contradomínio efetivo) de f.
Informações relevantes dadas:
\displaystyle a=2,\; b=8,\; c=-5 (coeficientes da forma geral \displaystyle ax^{2}+bx+c).

Passo 2

O que é a forma canônica e qual é a técnica do complemento de quadrado (explicação didática)?
A forma canônica de uma quadrática é
\displaystyle a(x-h)^{2}+k,
onde \displaystyle (h,k) é o vértice da parábola. Aqui \displaystyle a é o mesmo coeficiente da forma original e determina se a parábola abre para cima ( \displaystyle a>0) ou para baixo ( \displaystyle a<0).
Para completar o quadrado em uma expressão do tipo \displaystyle ax^{2}+bx+c fazemos:
  1. Colocamos \displaystyle a fatorando dos termos com x: \displaystyle a\bigl(x^{2}+\frac{b}{a}x\bigr)+c.
  2. Dentro do parêntese completamos o quadrado usando a identidade
\displaystyle x^{2}+2px=(x+p)^{2}-p^{2},
ou, em termos de a e b,
\displaystyle x^{2}+\frac{b}{a}x=\Bigl(x+\frac{b}{2a}\Bigr)^{2}-\Bigl(\frac{b}{2a}\Bigr)^{2}.
  1. Voltamos a multiplicar por a e simplificamos para obter a forma canônica.
Eu vou aplicar esses passos agora ao seu caso.

Passo 3

Começo fatorando \displaystyle a=2 dos termos quadrático e linear:
\displaystyle f(x)=2x^{2}+8x-5 = 2\bigl(x^{2}+4x\bigr)-5.
Aqui eu usei que \displaystyle \frac{b}{a}=\frac{8}{2}=4.
Agora completo o quadrado dentro do parêntese usando a identidade vista:
\displaystyle x^{2}+4x = \Bigl(x+2\Bigr)^{2}-2^{2} = \Bigl(x+2\Bigr)^{2}-4.
(Verificação rápida: (x+2)^{2}=x^{2}+4x+4; subtraindo 4 recuperamos x^{2}+4x.)
Substituo isso em f(x):
\displaystyle f(x)=2\Bigl(\bigl(x+2\bigr)^{2}-4\Bigr)-5.

Passo 4

Distribuo o \displaystyle 2 e simplifico as constantes:
\displaystyle f(x)=2\bigl(x+2\bigr)^{2}-8-5 = 2\bigl(x+2\bigr)^{2}-13.
Pronto — essa é a forma canônica. Aqui podemos identificar imediatamente o vértice:
\displaystyle h=-2 e \displaystyle k=-13, ou seja, vértice em \displaystyle (-2,-13).

Passo 5

Domínio: expondo a ideia com calma.
Uma função polinomial (como quadrática) não tem denominadores nem raízes pares nem logaritmos que restrinjam x; portanto está definida para todo x real. Logo o domínio é
\displaystyle \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 6

Imagem (razão detalhada):
Da forma canônica \displaystyle f(x)=2\bigl(x+2\bigr)^{2}-13 vemos que \displaystyle \bigl(x+2\bigr)^{2}\ge 0 para todo \displaystyle x. Como o coeficiente \displaystyle a=2 é positivo, \displaystyle 2\bigl(x+2\bigr)^{2}\ge 0 e o menor valor possível de \displaystyle f(x) ocorre quando \displaystyle \bigl(x+2\bigr)^{2}=0, ou seja em \displaystyle x=-2.
Nesse ponto o valor de f é
\displaystyle f(-2)=2\cdot 0 -13 = -13.
Portanto \displaystyle f(x)\ge -13 para todo x, e a imagem é o intervalo
\displaystyle \mathrm{Im}(f)=[-13,\infty).

Passo 7

Dica rápida para a prova (checar com outra fórmula):
Você também pode obter o x do vértice com a fórmula
\displaystyle x_{v}=-\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2\cdot 2} = -2,
e substituir em f para achar k=f(-2)=-13. Isso confirma o resultado acima e é rápido na prova.

Resposta

\displaystyle f(x)=2\bigl(x+2\bigr)^{2}-13
\displaystyle \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}
\displaystyle \mathrm{Im}(f)=[-13,\infty)

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