Indique o vértice das seguintes funções quadráticas:
f(x)=2 .(x-2)^{2}+7;

Passo 1

O enunciado pede para indicar o vértice da função quadrática f(x)=2\cdot(x-2)^{2}+7.
Informações dadas: a expressão da função é exatamente f(x)=2\cdot(x-2)^{2}+7. Não há outras condições explícitas.

Passo 2

Vamos entender uma forma prática para ler o vértice: existe uma forma de escrever quadráticas em que o vértice aparece diretamente. Essa forma é
f(x)=a(x-h)^{2}+k.
Aqui cada símbolo tem significado direto:
  • a é o coeficiente que multiplica o quadrado; ele controla se a parábola abre para cima ( a>0) ou para baixo ( a<0) e quão “estreita” ou “larga” ela é;
  • h e k são números reais que representam as coordenadas do vértice: o vértice é o ponto (h,k).
    Por quê isso funciona? Porque o termo (x-h)^{2} atinge seu menor valor, zero, quando x=h. Substituindo x=h obtemos f(h)=a\cdot 0 + k = k. Portanto o ponto de mínimo (quando a>0) ou máximo (quando a<0) é (h,k).

Passo 3

Agora compare a forma dada com a forma padrão a(x-h)^{2}+k. Na função
f(x)=2\cdot(x-2)^{2}+7
identificamos diretamente os parâmetros:
  • a=2,
  • h=2 (porque está (x-2) dentro do quadrado),
  • k=7 (o termo constante somado).

Passo 4

Usando a regra do passo anterior, o vértice é o ponto (h,k). Portanto, para nossa função o vértice é
(h,k)=(2,7).
Como verificação alternativa (útil na prova): podemos derivar f e achar o ponto crítico. Calculando a derivada,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2(x-2)^{2}+7\bigr)=2\cdot 2(x-2)=4(x-2).
Zerando f'(x) 4(x-2)=0\Rightarrow x=2. Substituindo em f obtemos f(2)=2\cdot 0+7=7. Isso confirma que o vértice tem coordenada x=2 e valor y=7. Como a=2>0, esse vértice é um mínimo.

Resposta

(2,7)

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