Encontre as primitivas das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para “encontrar as primitivas” dela.
Isso significa: encontrar todas as funções tais que
.
Informações relevantes dadas:
Isso significa: encontrar todas as funções
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é
. - O pedido é a família completa de primitivas (isto é, com a constante de integração).
Passo 2
Definição e objetivo (curtinho e direto): uma primitiva de
é qualquer função
que satisfaça
para todo
do domínio considerado. No exame, escreva a primitiva geral como
, onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 3
Propriedades que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Linearidade da operação primitiva: se
então uma primitiva de é a soma de uma primitiva de com uma primitiva de . Isso vem do fato de a derivada ser linear. - Regra do fator constante:
para constante .
Passo 4
Regra prática principal (regra do expoente para antiderivadas) e porquê:
Para todo número real vale
Para todo número real
Por que isso funciona? Diferenciando o lado direito obtemos
portanto a função indicada tem derivada
, ou seja é uma primitiva. (O
aparece porque derivada de constante é zero.)
Passo 5
Aplique a regra termo a termo a
.
Primeiro termo: . Usando a regra com
obtemos
Primeiro termo:
Passo 6
Segundo termo:
. Uma constante
integra para
(mais constante). Então
Passo 7
Somando as primitivas dos termos (pela linearidade) e combinando as constantes
e
numa única constante
, obtemos a família completa de primitivas:
onde
.
Passo 8
Verificação rápida (fazendo o processo inverso): diferencie
:
que é exatamente
. Assim a primitiva está correta.
Passo 9
Dica para a prova (prática): escreva sempre os passos mínimos — separar os termos, aplicar a regra do expoente e lembrar do
. Se o exercício pedir “uma primitiva”, pode dar
(isto é, escolher
), mas se pedir “todas” escreva com
.