Encontre as primitivas das funções:
f(x)=x^{3}-1

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}-1 e pede para “encontrar as primitivas” dela.
Isso significa: encontrar todas as funções F(x) tais que F'(x)=f(x).
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é \,f(x)=x^{3}-1\,.
  • O pedido é a família completa de primitivas (isto é, com a constante de integração).

Passo 2

Definição e objetivo (curtinho e direto): uma primitiva de f é qualquer função F que satisfaça
F'(x)=f(x)
para todo x do domínio considerado. No exame, escreva a primitiva geral como F(x)+C, onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 3

Propriedades que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Linearidade da operação primitiva: se f(x)=g(x)+h(x) então uma primitiva de f é a soma de uma primitiva de g com uma primitiva de h. Isso vem do fato de a derivada ser linear.
  • Regra do fator constante: \int a\cdot g(x)\,dx = a\int g(x)\,dx para constante a.

Passo 4

Regra prática principal (regra do expoente para antiderivadas) e porquê:
Para todo número real n\neq -1 vale
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Por que isso funciona? Diferenciando o lado direito obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+1}{n+1}x^{(n+1)-1}=x^{n},
portanto a função indicada tem derivada x^{n}, ou seja é uma primitiva. (O +C aparece porque derivada de constante é zero.)

Passo 5

Aplique a regra termo a termo a \,f(x)=x^{3}-1.
Primeiro termo: \int x^{3}\,dx. Usando a regra com n=3 obtemos
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}+C_{1}.

Passo 6

Segundo termo: \int (-1)\,dx. Uma constante a integra para ax (mais constante). Então
\int (-1)\,dx = -x + C_{2}.

Passo 7

Somando as primitivas dos termos (pela linearidade) e combinando as constantes C_{1} e C_{2} numa única constante C, obtemos a família completa de primitivas:
F(x)=\frac{x^{4}}{4}-x + C,
onde C\in\mathbb{R}.

Passo 8

Verificação rápida (fazendo o processo inverso): diferencie F(x):
F'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{4}}{4}\right)-\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}\text{(C)}=x^{3}-1+0=x^{3}-1,
que é exatamente f(x). Assim a primitiva está correta.

Passo 9

Dica para a prova (prática): escreva sempre os passos mínimos — separar os termos, aplicar a regra do expoente e lembrar do +C. Se o exercício pedir “uma primitiva”, pode dar F(x)=\dfrac{x^{4}}{4}-x (isto é, escolher C=0), mas se pedir “todas” escreva com +C.

Resposta

\displaystyle F(x)=\frac{x^{4}}{4}-x + C

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