não possui transformada de Fourier de cossenos ou de senos. Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
em
e pede que se justifique por que essa função não possui transformada de Fourier de cossenos nem transformada de Fourier de senos.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
-
para todo . - A pergunta é sobre existência das integrais que definem as transformadas de cossenos e de senos (as integrais impróprias
e ).
Passo 2
O que são as transformadas de cossenos e de senos (forma usada aqui)? Vou escrever as definições e explicar cada símbolo:
- A transformada de cossenos de uma função
(meio intervalo ) é, quando existe,
onde
é a frequência (variável real) e a integral é uma integral imprópria cujo valor é o limite
se esse limite existir (finito).
- Analogamente, a transformada de senos é
entendida como o limite
, se existir.
Condição simples e suficiente para existência clássica: se
, isto é,
então tanto
quanto
existem para todo
(a integral imprópria converge absolutamente). Esta condição é suficiente, mas não necessária em todos os contextos; porém é um critério claro para verificar se a transformada clássica existe.
Passo 3
Verificação da condição de integrabilidade para
:
Logo
. Portanto não se pode garantir existência das transformadas apenas por esse critério — já é um forte indício de problema (a função não decai e tem área infinita).
Passo 4
Cálculo explícito das integrais truncadas e análise do limite (caso
). Para
calcule as integrais sobre
:
Precisamos ver se os limites desses termos quando
existem (são finitos e independentes da sequência
).
Passo 5
Mostrando que os limites não existem para
. Use sequências de
que forcem valores diferentes nos limites parciais:
-
Para a integral de cossenos:
- escolha
com . Então , logo
- escolha
. Então , logo
As duas subsequências dão limites diferentes (e ), portanto o limite não existe. Assim não existe para . - escolha
-
Para a integral de senos:
- com
temos , então
- com
temos , então
Novamente aparecem dois limites parciais distintos (e ), logo não existe. Assim não existe para . - com
Essas construções servem tanto para
quanto para
(bastando trabalhar com
e notar que os mesmos argumentos de subsequências valem).
Passo 6
Caso especial
. Avaliando diretamente:
A integral para cosseno diverge quando
. (Observação: a transformada de senos em
seria zero pelo integrando nulo, mas a definição da transformada exige existência em todo
e, sobretudo, como função de
as integrais devem ser obtidas pelo mesmo processo de limite; além disso o comportamento para
próximos de zero é problemático já que para
os limites anteriores não se estabilizam.)
Passo 7
Conclusão e comentário didático/útil para a prova: a razão prática é que
não decai no infinito e não é integrável em
; as integrais oscilantes
não têm limite como integrais impróprias (para
os parciais oscilam entre valores diferentes; para
divergem). Portanto, na definição clássica das transformadas de cossenos e de senos (como integrais impróprias convergentes),
não possui essas transformadas.
Pequeno alento: em contextos mais avançados (análise de distribuições, transformada no sentido da soma de Abel/Cesàro ou transformada de Fourier de distribuições) essas expressões podem receber interpretações generalizadas, mas para a definição padrão usada em análise de Fourier básica a justificativa acima é suficiente e necessária para a prova.
Resposta
A transformada de cossenos e a transformada de senos de
não existem porque as integrais
não convergem: para
os parciais
e
oscilam (são subsequências com limites diferentes), e para
a integral de cosseno diverge (
); assim, na definição clássica, nenhuma das duas transformadas existe.