f(x)=1(0<x<\infty) não possui transformada de Fourier de cossenos ou de senos. Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=1 em (0,\infty) e pede que se justifique por que essa função não possui transformada de Fourier de cossenos nem transformada de Fourier de senos.
Informações relevantes dadas:
  • f(x)=1 para todo x\in(0,\infty).
  • A pergunta é sobre existência das integrais que definem as transformadas de cossenos e de senos (as integrais impróprias \int_0^\infty f(x)\cos(\omega x)\,dx e \int_0^\infty f(x)\sin(\omega x)\,dx).

Passo 2

O que são as transformadas de cossenos e de senos (forma usada aqui)? Vou escrever as definições e explicar cada símbolo:
  • A transformada de cossenos de uma função f (meio intervalo [0,\infty)) é, quando existe,
F_c(\omega)=\int_{0}^{\infty} f(x)\cos(\omega x)\,dx,
onde \omega é a frequência (variável real) e a integral é uma integral imprópria cujo valor é o limite
\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} f(x)\cos(\omega x)\,dx,
se esse limite existir (finito).
  • Analogamente, a transformada de senos é
F_s(\omega)=\int_{0}^{\infty} f(x)\sin(\omega x)\,dx,
entendida como o limite \lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} f(x)\sin(\omega x)\,dx, se existir.
Condição simples e suficiente para existência clássica: se f\in L^1(0,\infty), isto é,
\int_{0}^{\infty} |f(x)|\,dx<\infty,
então tanto F_c(\omega) quanto F_s(\omega) existem para todo \omega (a integral imprópria converge absolutamente). Esta condição é suficiente, mas não necessária em todos os contextos; porém é um critério claro para verificar se a transformada clássica existe.

Passo 3

Verificação da condição de integrabilidade para f(x)=1:
\int_{0}^{\infty} |f(x)|\,dx=\int_{0}^{\infty} 1\,dx=\lim_{R\to\infty} R = \infty.
Logo f\notin L^1(0,\infty). Portanto não se pode garantir existência das transformadas apenas por esse critério — já é um forte indício de problema (a função não decai e tem área infinita).

Passo 4

Cálculo explícito das integrais truncadas e análise do limite (caso \omega\neq0). Para \omega\neq0 calcule as integrais sobre [0,R]:
\int_{0}^{R}\cos(\omega x)\,dx=\left[\frac{\sin(\omega x)}{\omega}\right]_{0}^{R}=\frac{\sin(\omega R)}{\omega}.
\int_{0}^{R}\sin(\omega x)\,dx=\left[-\frac{\cos(\omega x)}{\omega}\right]_{0}^{R}=\frac{1-\cos(\omega R)}{\omega}.
Precisamos ver se os limites desses termos quando R\to\infty existem (são finitos e independentes da sequência R\to\infty).

Passo 5

Mostrando que os limites não existem para \omega\neq0. Use sequências de R que forcem valores diferentes nos limites parciais:
  • Para a integral de cossenos:
    • escolha R_n=\dfrac{2\pi n}{\omega} com n\in\mathbb{N}. Então \sin(\omega R_n)=\sin(2\pi n)=0, logo
    \int_{0}^{R_n}\cos(\omega x)\,dx=\frac{\sin(\omega R_n)}{\omega}=0.
    • escolha R'_n=\dfrac{\pi/2+2\pi n}{\omega}. Então \sin(\omega R'_n)=1, logo
    \int_{0}^{R'_n}\cos(\omega x)\,dx=\frac{1}{\omega}.
    As duas subsequências dão limites diferentes ( 0 e 1/\omega), portanto o limite \lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R}\cos(\omega x)\,dx não existe. Assim F_c(\omega) não existe para \omega\neq0.
  • Para a integral de senos:
    • com R_n=\dfrac{2\pi n}{\omega} temos \cos(\omega R_n)=1, então
    \int_{0}^{R_n}\sin(\omega x)\,dx=\frac{1-\cos(\omega R_n)}{\omega}=0.
    • com R'_n=\dfrac{\pi+2\pi n}{\omega} temos \cos(\omega R'_n)=-1, então
    \int_{0}^{R'_n}\sin(\omega x)\,dx=\frac{1-(-1)}{\omega}=\frac{2}{\omega}.
    Novamente aparecem dois limites parciais distintos ( 0 e 2/\omega), logo \lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R}\sin(\omega x)\,dx não existe. Assim F_s(\omega) não existe para \omega\neq0.
Essas construções servem tanto para \omega>0 quanto para \omega<0 (bastando trabalhar com |\omega| e notar que os mesmos argumentos de subsequências valem).

Passo 6

Caso especial \omega=0. Avaliando diretamente:
\int_{0}^{\infty} f(x)\cos(0\cdot x)\,dx=\int_{0}^{\infty} 1\,dx=\infty,
\int_{0}^{\infty} f(x)\sin(0\cdot x)\,dx=\int_{0}^{\infty} 0\,dx=0.
A integral para cosseno diverge quando \omega=0. (Observação: a transformada de senos em \omega=0 seria zero pelo integrando nulo, mas a definição da transformada exige existência em todo \omega e, sobretudo, como função de \omega as integrais devem ser obtidas pelo mesmo processo de limite; além disso o comportamento para \omega próximos de zero é problemático já que para \omega\to0 os limites anteriores não se estabilizam.)

Passo 7

Conclusão e comentário didático/útil para a prova: a razão prática é que f(x)=1 não decai no infinito e não é integrável em [0,\infty); as integrais oscilantes
\int_{0}^{\infty}\cos(\omega x)\,dx\quad\text{e}\quad\int_{0}^{\infty}\sin(\omega x)\,dx
não têm limite como integrais impróprias (para \omega\neq0 os parciais oscilam entre valores diferentes; para \omega=0 divergem). Portanto, na definição clássica das transformadas de cossenos e de senos (como integrais impróprias convergentes), f(x)=1 não possui essas transformadas.
Pequeno alento: em contextos mais avançados (análise de distribuições, transformada no sentido da soma de Abel/Cesàro ou transformada de Fourier de distribuições) essas expressões podem receber interpretações generalizadas, mas para a definição padrão usada em análise de Fourier básica a justificativa acima é suficiente e necessária para a prova.

Resposta

A transformada de cossenos e a transformada de senos de f(x)=1 não existem porque as integrais
\int_{0}^{\infty}\cos(\omega x)\,dx\quad\text{e}\quad\int_{0}^{\infty}\sin(\omega x)\,dx
não convergem: para \omega\neq0 os parciais \int_{0}^{R}\cos(\omega x)\,dx=\dfrac{\sin(\omega R)}{\omega} e \int_{0}^{R}\sin(\omega x)\,dx=\dfrac{1-\cos(\omega R)}{\omega} oscilam (são subsequências com limites diferentes), e para \omega=0 a integral de cosseno diverge ( \int_{0}^{\infty}1\,dx=\infty); assim, na definição clássica, nenhuma das duas transformadas existe.

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