(7,0) Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado.
x=1+\ln t, y=t^{3}+t ; \quad t=-1
Passo 1
O enunciado dá uma curva paramétrica e pede a equação da tangente no ponto correspondente a t=-1. As informações fornecidas são:
Equações paramétricas: x=1+\ln t e y=t^{3}+t.
Valor do parâmetro onde se quer a tangente: t=-1.
A pergunta é: “Qual a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente a t=-1?”
Passo 2
Conceito necessário (muito importante): para uma curva dada por coordenas paramétricas \,x=x(t),\;y=y(t)\,, a inclinação da tangente (coeficiente angular) em um parâmetro t que esteja no domínio das funções é dada por
desde que \dfrac{dx}{dt}\neq0. Explicando as peças:
\dfrac{dy}{dt} é a derivada de y(t) em relação a t: mostra como y muda quando t muda.
\dfrac{dx}{dt} é a derivada de x(t) em relação a t: mostra como x muda quando t muda.
A razão dessas duas quantidades dá a inclinação \dfrac{dy}{dx} da curva em coordenadas cartesianas.
Depois de achar a inclinação m e o ponto (x_0,y_0) correspondente ao parâmetro t, a equação da reta tangente é a forma ponto-inclinação:
y-y_0=m\,(x-x_0).
Passo 3
Verificação do domínio (passo crítico e que costuma passar despercebido): a expressão x=1+\ln t envolve \ln t. A função logaritmo natural \ln t está definida somente para valores reais de t com t>0. Logo, para a curva estar bem definida em números reais, é necessário que t>0.
O enunciado pede a tangente em t=-1. Mas t=-1 não satisfaz t>0. Portanto, em termos reais:
x( -1)=1+\ln(-1) não é um número real (o logaritmo de número negativo não existe no conjunto dos reais).
Já y(-1)=(-1)^{3}+(-1)=-2 seria um número real, mas isso não basta: a coordenada x precisa ser real para que o ponto (x,y) esteja na curva real no plano.
Conclusão parcial: o parâmetro t=-1 não pertence ao domínio real de x(t)=1+\ln t, então não há ponto real da curva associado a t=-1. Sem um ponto real da curva, não faz sentido falar em reta tangente real naquele t.
Passo 4
Interpretação final do problema: como pedido, não posso calcular a tangente em t=-1 no contexto de curvas reais porque o ponto correspondente não existe no plano real (a coordenada x é indefinida em \mathbb{R} para t=-1). Portanto não há equação de tangente real nesse parâmetro.
Observação adicional útil para a prova: se o objetivo fosse encontrar a tangente para um valor de t que esteja no domínio (isto é, para algum t>0), o procedimento seria:
Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}.
Avaliar \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{(dy/dt)}{(dx/dt)} no t dado.
Calcular o ponto (x(t),y(t)).
Usar y-y(t)=\dfrac{dy}{dx}\big|_{t}\,(x-x(t)).
Passo 5
Exemplo explicativo (para fixar o método): suponha que se pedissem a tangente em t=1 (que é válido, porque 1>0). Faço o processo completo como modelo:
Esse exemplo mostra exatamente os passos que se aplicariam se t estivesse no domínio.
Resposta
Não é possível encontrar a equação da tangente para t=-1 porque \ln t não está definido em \mathbb{R} para t=-1; o parâmetro t=-1 não pertence ao domínio real da curva x=1+\ln t.