(7,0) Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado.
x=1+\ln t, y=t^{3}+t ; \quad t=-1

Passo 1

O enunciado dá uma curva paramétrica e pede a equação da tangente no ponto correspondente a t=-1. As informações fornecidas são:
  • Equações paramétricas: x=1+\ln t e y=t^{3}+t.
  • Valor do parâmetro onde se quer a tangente: t=-1.
    A pergunta é: “Qual a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente a t=-1?”

Passo 2

Conceito necessário (muito importante): para uma curva dada por coordenas paramétricas \,x=x(t),\;y=y(t)\,, a inclinação da tangente (coeficiente angular) em um parâmetro t que esteja no domínio das funções é dada por
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}},
desde que \dfrac{dx}{dt}\neq0. Explicando as peças:
  • \dfrac{dy}{dt} é a derivada de y(t) em relação a t: mostra como y muda quando t muda.
  • \dfrac{dx}{dt} é a derivada de x(t) em relação a t: mostra como x muda quando t muda.
  • A razão dessas duas quantidades dá a inclinação \dfrac{dy}{dx} da curva em coordenadas cartesianas.
    Depois de achar a inclinação m e o ponto (x_0,y_0) correspondente ao parâmetro t, a equação da reta tangente é a forma ponto-inclinação:
y-y_0=m\,(x-x_0).

Passo 3

Verificação do domínio (passo crítico e que costuma passar despercebido): a expressão x=1+\ln t envolve \ln t. A função logaritmo natural \ln t está definida somente para valores reais de t com t>0. Logo, para a curva estar bem definida em números reais, é necessário que t>0.
O enunciado pede a tangente em t=-1. Mas t=-1 não satisfaz t>0. Portanto, em termos reais:
  • x( -1)=1+\ln(-1) não é um número real (o logaritmo de número negativo não existe no conjunto dos reais).
  • y(-1)=(-1)^{3}+(-1)=-2 seria um número real, mas isso não basta: a coordenada x precisa ser real para que o ponto (x,y) esteja na curva real no plano.
Conclusão parcial: o parâmetro t=-1 não pertence ao domínio real de x(t)=1+\ln t, então não há ponto real da curva associado a t=-1. Sem um ponto real da curva, não faz sentido falar em reta tangente real naquele t.

Passo 4

Interpretação final do problema: como pedido, não posso calcular a tangente em t=-1 no contexto de curvas reais porque o ponto correspondente não existe no plano real (a coordenada x é indefinida em \mathbb{R} para t=-1). Portanto não há equação de tangente real nesse parâmetro.
Observação adicional útil para a prova: se o objetivo fosse encontrar a tangente para um valor de t que esteja no domínio (isto é, para algum t>0), o procedimento seria:
  1. Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}.
  2. Avaliar \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{(dy/dt)}{(dx/dt)} no t dado.
  3. Calcular o ponto (x(t),y(t)).
  4. Usar y-y(t)=\dfrac{dy}{dx}\big|_{t}\,(x-x(t)).

Passo 5

Exemplo explicativo (para fixar o método): suponha que se pedissem a tangente em t=1 (que é válido, porque 1>0). Faço o processo completo como modelo:
  • Primeiro, as derivadas:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\big(1+\ln t\big)=\frac{1}{t}, \qquad \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\big(t^{3}+t\big)=3t^{2}+1.
  • Em t=1:
\frac{dx}{dt}\Big|_{t=1}=1,\qquad \frac{dy}{dt}\Big|_{t=1}=3\cdot1^{2}+1=4,
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\frac{dy}{dx}\Big|_{t=1}=\frac{4}{1}=4.
  • O ponto correspondente:
x(1)=1+\ln 1=1+0=1,\qquad y(1)=1^{3}+1=2,
então a reta tangente é
y-2=4(x-1),
que pode ser escrita como
y=4x-2.
Esse exemplo mostra exatamente os passos que se aplicariam se t estivesse no domínio.

Resposta

Não é possível encontrar a equação da tangente para t=-1 porque \ln t não está definido em \mathbb{R} para t=-1; o parâmetro t=-1 não pertence ao domínio real da curva x=1+\ln t.

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